L'équation $x^n+x=1$ : une échelle en $\ln n/n$

La stratégie. D'abord la technique de la suite implicite du TD 5 (l'équation $x^5+nx=1$) : localiser la racine, comparer deux termes en évaluant la fonction suivante au point précédent, trouver la limite par l'absurde. Ensuite, et c'est le propre de ce chapitre, un développement asymptotique obtenu en réinjectant l'équation prise au logarithme.

a) Existence. Sur $[0,1]$, $f_n$ est continue et strictement croissante (somme de $x\mapsto x^n$, croissante, et de $x\mapsto x-1$, strictement croissante), avec $f_n(0)=-1<0<1=f_n(1)$ : par le théorème de la bijection, elle s'annule en un unique point $x_n$, qui n'est ni $0$ ni $1$. Pour $n=1$, $x_1=\frac{1}{2}$ ; pour $n=2$, $x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$, l'inverse du nombre d'or.

b) Croissance et limite. C'est le geste du TD 5 : on évalue $f_{n+1}$ en $x_n$, en utilisant $x_n^n=1-x_n$ : $$f_{n+1}(x_n)=x_n\cdot x_n^n+x_n-1=x_n^n(x_n-1)<0=f_{n+1}(x_{n+1}),$$ et $f_{n+1}$ étant strictement croissante, $x_n<x_{n+1}$. Croissante et majorée par $1$, la suite converge vers $\ell \in \left[\frac{1}{2},1\right]$. Supposons par l'absurde $\ell <1$ : alors $0<x_n^n\le {\ell }^n\to 0$, donc $x_n^n\to 0$ ; or $x_n^n=1-x_n\to 1-\ell >0$. Contradiction : $x_n\to 1$. (« $x_n^n$ » est une forme $1^{\infty }$ ; c'est la croissance de la suite qui fournit la majoration par une constante $\ell <1$ uniforme en $n$.)

c) Le passage au logarithme. $y_n=1-x_n\in \left]0,1\right[$ tend vers $0$, et l'équation s'écrit $(1-y_n{)}^n=y_n$ : deux membres strictement positifs, dont on prend le logarithme, $n\ln (1-y_n)=\ln y_n$. Comme $\ln (1-y_n)\sim -y_n$, on a $n\ln (1-y_n)\sim -n{y}_n$, c'est-à-dire $$n{y}_n\sim -\ln y_n.$$ Or $-\ln y_n\to +\infty$ ; un équivalent conserve la limite : $n{y}_n\to +\infty$. Première information : $y_n$ tend vers $0$ moins vite que $\frac{1}{n}$.

d) L'équivalent de $y_n$. Posons $L_n=-\ln y_n\to +\infty$. Le c) dit $n{y}_n\sim L_n$, deux quantités positives de limite $+\infty$ : par l'exercice 1 (cas $\ell =+\infty$), on peut prendre le logarithme de l'équivalent, et comme $\ln (n{y}_n)=\ln n-L_n$, $$\ln n-L_n\sim \ln L_n,\text{donc}\frac{\ln n}{L_n}=1+\frac{\ln L_n}{L_n}(1+o(1))⟶1,$$ car $\frac{\ln L_n}{L_n}\to 0$ par croissance comparée. Ainsi $L_n\sim \ln n$, et $n{y}_n\sim L_n\sim \ln n$ : $$y_n\sim \frac{\ln n}{n},x_n=1-\frac{\ln n}{n}+o\left(\frac{\ln n}{n}\right).$$ Le point délicat. Le logarithme a été pris deux fois : dans l'équation (les membres sont positifs) et dans un équivalent (licite par l'exercice 1, parce que la limite commune est $+\infty$ et non $1$).

e) Le terme suivant. Avec un ordre de plus, $\ln (1-y)=-y-\frac{y^2}{2}+o(y^2)$, donc $n\ln (1-y_n)=-n{y}_n-\frac{n{y}_n^2}{2}+o(n{y}_n^2)$. Or $n{y}_n^2=\frac{(n{y}_n{)}^2}{n}\sim \frac{(\ln n{)}^2}{n}\to 0$. Donc $n\ln (1-y_n)=-n{y}_n+o(1)$, et l'équation du c) devient $$n{y}_n=-\ln y_n+o(1).$$ Écrivons, d'après le d), $y_n=\frac{\ln n}{n}(1+{\epsilon }_n)$ avec ${\epsilon }_n\to 0$ : pour $n\ge 2$, $-\ln y_n=\ln n-\ln \ln n-\ln (1+{\epsilon }_n)=\ln n-\ln \ln n+o(1)$. En reportant et en divisant par $n$ : $$y_n=\frac{\ln n}{n}-\frac{\ln \ln n}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),$$ c'est-à-dire $$x_n=1-\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln \ln n}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$ Un développement qui n'est pas en puissances de $\frac{1}{n}$. Contrôle : pour $n=100$, $x_n=0,96658$, contre $0,95395$ avec le seul terme en $\frac{\ln n}{n}$ et $0,96922$ avec les deux ; pour $n=10^6$, $x_n=0,99998862$, contre $0,99998618$ puis $0,99998881$.

f) La lenteur. Le e) donne $\frac{n{y}_n}{\ln n}=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+o\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ : le rapport tend vers $1$, mais l'écart ne décroît que comme $\frac{\ln \ln n}{\ln n}$, qui vaut encore $0,19$ pour $n=10^6$. Les valeurs calculées, $0,716$ ; $0,726$ ; $0,758$ ; $0,785$ ; $0,824$ pour $n=10$, $10^2$, $10^3$, $10^4$, $10^6$, suivent $1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}$ à un $o\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ près. Un équivalent vrai peut être numériquement trompeur quand le terme suivant n'est plus petit que d'un facteur logarithmique.

Ce que l'exercice installe. La méthode complète des suites implicites : monotonie par $f_{n+1}(x_n)$ (le geste du TD 5), limite par l'absurde grâce à une majoration uniforme, puis développement asymptotique en réinjectant l'équation prise au logarithme — chaque tour apporte un terme. L'exercice 1 a fourni le droit de prendre le logarithme d'un équivalent, l'exercice 7 la réinjection : les deux s'assemblent ici.