L'erreur de la méthode d'Euler est en $1/n$

La stratégie. Une puissance dont la base et l'exposant dépendent de $n$ ne se développe pas telle quelle — c'est la forme « $1^{\infty }$ ». On repasse par l'exponentielle, on développe l'exposant à l'ordre voulu, on sort la partie qui ne tend pas vers $0$, puis on compose, ce que le cours autorise avec une suite qui tend vers $0$.

a) Le développement. Pour $n>|x|$, ${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=\exp \left(n\ln \left(1+\frac{x}{n}\right)\right)$. On veut un résultat à $o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ près, et la multiplication par $n$ abaisse l'ordre d'un cran : il faut le logarithme à l'ordre $3$ en $\frac{x}{n}\to 0$ : $$n\ln \left(1+\frac{x}{n}\right)=n\left(\frac{x}{n}-\frac{x^2}{2n^2}+\frac{x^3}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)=x-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ L'exposant tend vers $x$, pas vers $0$ : on factorise $e^x$ avant de développer. Avec $v_n=-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\to 0$, on a $e^{v_n}=1+v_n+\frac{v_n^2}{2}+o(v_n^2)$, où $v_n^2=\frac{x^4}{4n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et où $o(v_n^2)$ est un $o\left(\frac{1}{n^2}\right)$, puisque $v_n=O\left(\frac{1}{n}\right)$. Donc $${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}\right)\frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right),$$ et $\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}=\frac{8x^3+3x^4}{24}$. Pour $x=1$ : ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e-\frac{e}{2n}+\frac{11e}{24n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

b) L'erreur d'Euler. Le schéma donne $y_{k+1}=(1+h)y_k$, donc $y_n={\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$, et par le a), $$e^x-y_n=\frac{x^2{e}^x}{2n}-\frac{(8x^3+3x^4)e^x}{24n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Pour $x\ne 0$, le premier terme n'est pas nul, et il donne l'équivalent : $e^x-y_n\sim \frac{x^2{e}^x}{2n}$. La méthode d'Euler est d'ordre $1$ : diviser le pas par deux divise l'erreur par deux, et gagner une décimale coûte dix fois plus de pas. Pour $x=1$, l'erreur est équivalente à $\frac{e}{2n}$ ; elle passe sous $10^{-6}$ pour $n$ de l'ordre de $\frac{e}{2}\cdot 10^6\approx 1,36$ million, et le calcul exact donne le plus petit rang : $n=1359140$. C'est la lenteur de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ constatée numériquement au premier semestre, désormais expliquée et chiffrée.

c) Tuer le terme en $\frac{1}{n}$. Notons $c=\frac{8x^3+3x^4}{24}$. Aux rangs $n$ et $2n$ : $$y_n=e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{c}{n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ et $$y_{2n}=e^x\left(1-\frac{x^2}{4n}+\frac{c}{4n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Dans $2y_{2n}-y_n$, les termes en $\frac{1}{n}$ se détruisent, et il reste $$2y_{2n}-y_n=e^x-\frac{c{e}^x}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=e^x+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Pour $x=1$, $c=\frac{11}{24}$ et $e-(2y_{2n}-y_n)\sim \frac{11e}{48n^2}$. Numériquement, $e-y_{10}\approx 0,1245$, tandis que $e-(2y_{20}-y_{10})\approx 0,0054$ : vingt-trois fois moins, pour deux calculs au lieu d'un. Pour $10^{-6}$, la condition $\frac{11e}{48n^2}<10^{-6}$ donne $n\approx 790$, et le calcul exact $n=789$ : au total $789+1578=2367$ pas d'Euler, contre plus d'un million.

d) La variante continue. Pour $t\in \left]-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$, $(1+t{)}^{1/t}=\exp \left(\frac{\ln (1+t)}{t}\right)$, et $\frac{\ln (1+t)}{t}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}+o(t^2)$. Avec $w=-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}+o(t^2)\to 0$ : $$(1+t{)}^{1/t}=e\cdot e^w=e\left(1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}+\frac{t^2}{8}+o(t^2)\right)=e\left(1-\frac{t}{2}+\frac{11t^2}{24}+o(t^2)\right).$$ Rien n'a supposé $t>0$ : le développement vaut des deux côtés de $0$ ; composé avec la suite $t=\frac{1}{n}$, il redonne le cas $x=1$ du a).

Le point délicat. L'exposant tend vers $x$, pas vers $0$ : développer $e^{x+v_n}$ comme si l'exposant était petit est la faute. On sort $e^x$, et seul $e^{v_n}$ se développe — l'interdit du cours sur la composition par l'exponentielle, traité comme il faut.

Ce que l'exercice installe. Un développement asymptotique est la mesure de la vitesse de convergence : « $y_n\to e$ » ne permet pas de choisir $n$, « $e-y_n\sim \frac{e}{2n}$ » le permet — et connaître le terme d'erreur, c'est pouvoir l'éliminer. Le TD 5 avait étudié la stabilité du schéma d'Euler ; on en mesure ici l'erreur. C'est le schéma que la physique met en œuvre numériquement dès la première année, et l'extrapolation de Richardson est l'idée des méthodes d'ordre supérieur.