Le développement de $\ln (\cos x)$

Stratégie : la composition. On ne connaît pas de développement de $\ln$ en $0$ — le logarithme n'y est même pas défini. On connaît celui de $\ln (1+u)$ pour $u\to 0$ : il faut donc faire apparaître un $1+u$ avec $u$ tendant vers $0$.

La mise en forme. Posons $u=\cos x-1$. Comme $\cos$ est continue et vaut $1$ en $0$, on a bien $u\to 0$, et $$u=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right).$$

Le décompte des ordres, à faire AVANT le calcul. Le terme dominant de $u$ est en $x^2$. Donc $u^2$ est d'ordre $4$, et $u^3$ d'ordre $6$ : pour un développement à l'ordre $4$, il suffit d'aller jusqu'au terme en $u^2$ dans $$\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o\left(u^2\right).$$

⚠️ Le point délicat est là. L'ordre $4$ voulu sur le résultat exige le ${\mathrm{DL}}_4$ de $\cos$, pas le ${\mathrm{DL}}_2$ : partir de $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ ferait perdre le terme $\frac{x^4}{24}$, donc l'un des deux contributeurs du coefficient final.

Le calcul. Le carré ne garde que son premier terme, les autres étant d'ordre au moins $6$ : $$u^2={\left(-\frac{x^2}{2}\right)}^2+o\left(x^4\right)=\frac{x^4}{4}+o\left(x^4\right).$$ D'où $$\ln (\cos x)=\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4}{4}+o\left(x^4\right)=-\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1}{24}-\frac{3}{24}\right)x^4+o\left(x^4\right),$$ $$\boxed{\ln (\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o\left(x^4\right).}$$

Deux vérifications qui coûtent dix secondes. La fonction $\ln (\cos x)$ est paire, et son développement ne contient effectivement que des puissances paires. Et les deux coefficients sont négatifs, ce qui est cohérent : $\cos x\le 1$ au voisinage de $0$, donc $\ln (\cos x)\le 0$.

Contrôle numérique. En $x=0,2$ : la valeur exacte est $-0,0201348$, la partie régulière donne $-0,02-\frac{0,0016}{12}=-0,0201333$. Cinq décimales concordent.

Ce que l'exercice installe. Composer, c'est trois gestes dans cet ordre : écrire $1+u$ avec $u\to 0$, compter les ordres pour savoir jusqu'où pousser chaque facteur, puis seulement calculer. Le décompte préalable est ce qui distingue un calcul de développement limité d'une accumulation de termes au hasard.