Le développement limité d'une réciproque, et le ressort qui durcit

La stratégie. On ne calcule pas $f^{-1}$ — il faudrait résoudre une équation du troisième degré. On postule la forme de son développement, que la parité réduit à trois inconnues, et on identifie dans $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$, dont le développement est connu. Encore faut-il savoir d'abord que ce développement existe.

a) Existence, parité, régularité. $f^{\prime }(x)=1+3x^2>0$ : $f$ est continue, strictement croissante, de limites $-\infty$ et $+\infty$ ; par le théorème de la bijection, c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Parité : si $x=f^{-1}(y)$, alors $f(-x)=-f(x)=-y$, donc $f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$, et $f^{-1}(0)=0$. Régularité : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et sa dérivée ne s'annule pas ; par le théorème du cours sur la réciproque d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^k$, $f^{-1}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, et Taylor–Young lui donne un développement à tout ordre, en puissances impaires. C'est $f^{\prime }(0)=1\ne 0$ qui autorise tout ce qui suit : pour $x\mapsto x^3$, la réciproque $y\mapsto y^{1/3}$ n'est pas dérivable en $0$, et aucune identification n'aurait de sens.

b) L'identification. Reportons dans $f^{-1}(y)+(f^{-1}(y){)}^3=y$. Le cube, à l'ordre $5$, ne retient que $\alpha y\cdot \alpha y\cdot \alpha y$ et les trois façons de prendre $\alpha y\cdot \alpha y\cdot \beta y^3$ : $(f^{-1}(y){)}^3={\alpha }^3{y}^3+3{\alpha }^2\beta y^5+o(y^5)$. Donc $$\alpha y+(\beta +{\alpha }^3)y^3+(\gamma +3{\alpha }^2\beta )y^5+o(y^5)=y.$$ Par unicité : $\alpha =1$ ; $\beta =-{\alpha }^3=-1$ ; $\gamma =-3{\alpha }^2\beta =3$. $$f^{-1}(y)=y-y^3+3y^5+o(y^5).$$ Contrôle : la solution de $t+t^3=0,1$ est $0,0990288524$, et $0,1-0,001+0,00003=0,09903$ ; l'écart, $-1,15\cdot 10^{-6}$, est de la taille de $y^7$ (le coefficient suivant vaut $-12$).

c) Par réinjection. L'équation s'écrit $x=y-x^3$, où $x=f^{-1}(y)\to 0$ quand $y\to 0$, par continuité de $f^{-1}$.

• Premier tour. De $x(1+x^2)=y$, on tire $\frac{x}{y}\to 1$ : $x=O(y)$, donc $x^3=O(y^3)$ et $x=y+O(y^3)$.
• Deuxième tour. $x^3=(y+O(y^3){)}^3=y^3+O(y^5)$, donc $x=y-y^3+O(y^5)$.
• Troisième tour. $x^3=(y-y^3+O(y^5){)}^3=y^3-3y^5+O(y^7)$, donc $x=y-y^3+3y^5+O(y^7)$.

Même résultat, et l'on voit la mécanique : chaque réinjection apporte un terme exact de plus. C'est la méthode des équations à paramètre, qui sert à l'exercice suivant.

d) Le ressort raidissant. Avec $X=\frac{x}{a}$, la loi s'écrit $\frac{F}{ka}=X+X^3=f(X)$, donc $x=a{f}^{-1}\left(\frac{F}{ka}\right)$ et, quand $F\to 0$, $$x=\frac{F}{k}-\frac{F^3}{k^3{a}^2}+\frac{3F^5}{k^5{a}^4}+o(F^5).$$ Le premier terme est la loi de Hooke ; le second, négatif, dit que le ressort s'allonge moins que Hooke ne le prévoit — il durcit ; pour $\frac{F}{ka}=0,1$, la correction relative est de 1 %.

Ce que l'exercice installe. Inverser un développement limité est une identification, jamais un calcul de dérivées de $f^{-1}$ ; la parité divise le travail par deux ; la réinjection en est la version itérative, l'outil général des développements asymptotiques. En physique, chaque fois qu'on inverse une loi non linéaire — l'allongement en fonction de la force, une température en fonction d'une résistance mesurée —, c'est ce calcul qu'on fait.