Le $D L_{3}$ de la tangente, par quotient

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 9 — Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités

Énoncé

Retrouver le développement $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ à partir de ceux de $sin$ et $cos$ .

Corrigé

Écrivons $cos x = 1 - u$ avec $u = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) \to 0$ , et composons avec $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)$ :

$\frac{1}{cos x} = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) .$

Puis le produit, tronqué à l'ordre $3$ :

$tan x = sin x \cdot \frac{1}{cos x} = (x - \frac{x ^{3}}{6}) (1 + \frac{x ^{2}}{2}) + o (x^{3}) = x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Le DL3​ de la tangente, par quotient

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