Le $D{L}_3$ de la tangente, par quotient

Écrivons $\cos x=1-u$ avec $u=\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\to 0$, et composons avec $\frac{1}{1-u}=1+u+o(u)$ :

$$\frac{1}{\cos x}=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right).$$

Puis le produit, tronqué à l'ordre $3$ :

$$\tan x=\sin x\cdot \frac{1}{\cos x}=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left(1+\frac{x^2}{2}\right)+o\left(x^3\right)=x+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^3+o\left(x^3\right)=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right).$$