mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Les sinus itérés : la convergence lente

Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $u_{0} \in] 0, \frac{π}{2} [$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = sin u_{n}$ .

a) Montrer que $(u_{n})$ est à valeurs dans $] 0, \frac{π}{2} [$ , strictement décroissante, et qu'elle tend vers $0$ .

b) Calculer $x \to 0 lim (\frac{1}{sin ^{2} x} - \frac{1}{x ^{2}})$ .

c) En déduire que $\frac{1}{u _{n + 1}^{2}} - \frac{1}{u _{n}^{2}} \to \frac{1}{3}$ , puis, à l'aide du lemme de l'escalier établi au TD 5 (si $v_{n + 1} - v_{n} \to ℓ$ , alors $\frac{v _{n}}{n} \to ℓ$ ), que $u_{n} \sim \frac{3}{n}$ .

d) Pourquoi la convergence est-elle lente ? Comparer aux convergences géométrique (vers un point fixe $ℓ$ d'une fonction $φ$ telle que $∣ φ^{'} (ℓ)∣ < 1$ ) et quadratique (la méthode de Newton, problème de cette séance) : que vaut ici $sin^{'} (0)$ ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. La récurrence ne se résout pas. On cherche la bonne quantité auxiliaire : une puissance $\frac{1}{u _{n}^{α}}$ dont les accroissements ont une limite finie non nulle. Le développement du sinus va désigner $α = 2$ ; le lemme de l'escalier traduira cette quasi-constance en équivalent.

a) La suite tend vers $0$ par valeurs positives. Si $u_{n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , alors $u_{n + 1} = sin u_{n} \in] 0, 1 [\subset] 0, \frac{π}{2} [$ : par récurrence, tous les termes y sont. De plus $sin t < t$ pour $t > 0$ (la fonction $t \mapsto t - sin t$ est nulle en $0$ , de dérivée $1 - cos t \geq 0$ qui ne s'annule qu'en des points isolés, donc strictement croissante sur $[0, + \infty [$ ) : $u_{n + 1} < u_{n}$ . Strictement décroissante et minorée par $0$ , la suite converge vers $ℓ$ , et par continuité du sinus $ℓ = sin ℓ$ , ce qui impose $ℓ = 0$ . La stricte positivité des $u_{n}$ permettra de diviser par $u_{n}^{2}$ , puis de prendre une racine carrée.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Calculer $x \to 0 lim (\frac{1}{sin ^{2} x} - \frac{1}{x ^{2}})$ .

Élève

Pour le b), j'ai écrit $sin x \sim x$ , donc $\frac{1}{s i n ^{2} x} \sim \frac{1}{x ^{2}}$ , et j'en déduis que la différence tend vers $0$ .

Deux quantités équivalentes peuvent avoir une différence qui ne tend pas vers $0$ : $\frac{1}{x ^{2}} + 1$ et $\frac{1}{x ^{2}}$ sont équivalentes en $0$ . Pour développer $\frac{1}{s i n ^{2} x}$ jusqu'à son terme constant, à quel ordre dois-tu développer $sin x$ , et pourquoi ?

Élève

Comme on divise par $x^{2}$ , il me faut deux ordres de plus que le terme principal : $sin x = x (1 - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2}))$ . Donc $sin^{2} x = x^{2} (1 + w)$ avec $w$ qui tend vers $0$ .

Bonne factorisation. Comment exprimes-tu $w$ jusqu'à l'ordre $2$ , et quel développement de $\frac{1}{1 + w}$ te permet ensuite d'isoler le terme constant de $\frac{1}{s i n ^{2} x}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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