mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Limites par équivalents

Analyse asymptotique · C. Limites · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer $x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{tan ( 5 x )}$ et $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{x} - 1}$ .

Corrigé

Par les équivalents usuels (premiers termes des $DL$ ) : $sin (3 x) \sim 3 x$ , $tan (5 x) \sim 5 x$ , $ln (1 + 2 x) \sim 2 x$ et $e^{x} - 1 \sim x$ en $0$ . Les quotients d'équivalents donnent :

$\frac{sin 3 x}{tan 5 x} \sim \frac{3 x}{5 x} = \frac{3}{5} ⟶ \frac{3}{5}, \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{x} - 1} \sim \frac{2 x}{x} ⟶ 2 .$

(Quotients et produits d'équivalents : licites ; on n'a additionné aucun équivalent.)

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