mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Primitivation d'un développement limité

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · niveau 2

Énoncé

Retrouver le $DL_{5} (0)$ de $Arctan$ à partir de celui de sa dérivée, puis en déduire un équivalent de $Arctan x - x$ en $0$ .

Corrigé

La dérivée est $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ : en substituant $- x^{2}$ dans la série géométrique,

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} + o (x^{4}) .$

On primitive terme à terme (avec $Arctan 0 = 0$ ) :

$Arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} + o (x^{5}) .$

En particulier $Arctan x - x = - \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) \sim - \frac{x ^{3}}{3}$ : la courbe traverse sa tangente en $0$ (point d'inflexion), en passant dessous pour $x > 0$ .

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