Problème : la méthode de Newton converge quadratiquement

Soit $I$ un intervalle ouvert, $f:I\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ et $\ell \in I$ tel que $f(\ell )=0$ et $f^{\prime }(\ell )\ne 0$ ($\ell$ est une racine simple de $f$). On pose $N(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$ là où $f^{\prime }(x)\ne 0$, et l'on étudie la suite de Newton définie par $x_0$ et $x_{n+1}=N(x_n)$ ; on note $e_n=x_n-\ell$.

1) Montrer qu'il existe $\delta >0$ tel que $J=[\ell -\delta ,\ell +\delta ]\subset I$ et que $f^{\prime }$ ne s'annule pas sur $J$. Vérifier que $N(\ell )=\ell$ et que, pour $x\in J$, $$N(x)-\ell =\frac{(x-\ell )f^{\prime }(x)-f(x)}{f^{\prime }(x)}.$$

2) À l'aide de la formule de Taylor–Young (à l'ordre $2$ pour $f$, à l'ordre $1$ pour $f^{\prime }$), montrer que $h{f}^{\prime }(\ell +h)-f(\ell +h)=\frac{f^{\prime \prime }(\ell )}{2}{h}^2+o(h^2)$, puis que $$N(\ell +h)-\ell =\frac{f^{\prime \prime }(\ell )}{2f^{\prime }(\ell )}{h}^2+o(h^2)(h\to 0).$$ Qu'est devenu le terme d'ordre $1$ ?

3) En déduire qu'il existe $\eta \in \left]0,\delta \right]$ et $K>0$ tels que $|N(x)-\ell |\le K(x-\ell {)}^2$ pour $|x-\ell |\le \eta$. Montrer que, si $|x_0-\ell |\le \min \left(\eta ,\frac{1}{2K}\right)$, la suite est bien définie, reste dans $[\ell -\eta ,\ell +\eta ]$, et vérifie $K|e_n|\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n}$ pour tout $n$.

4) On suppose de plus $f^{\prime \prime }(\ell )\ne 0$ et $x_n\ne \ell$ pour tout $n$. Montrer que $e_{n+1}\sim \frac{f^{\prime \prime }(\ell )}{2f^{\prime }(\ell )}{e}_n^2$, et expliquer pourquoi le nombre de décimales exactes double environ à chaque itération.

5) Applications. Pour la méthode de Héron, $f(x)=x^2-2$ : calculer $C=\frac{f^{\prime \prime }(\ell )}{2f^{\prime }(\ell )}$ et comparer à l'identité exacte $e_{n+1}=\frac{e_n^2}{2x_n}$. Pour $f(x)=x^3-2$ et $x_0=1$, les rapports $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ valent successivement environ $1,087$ ; $0,736$ ; $0,790$ ; $0,7937$ : vers quelle limite, et pourquoi le premier est-il loin du compte ?

6) Racine double. On suppose maintenant $f(x)=(x-\ell {)}^{2}g(x)$, avec $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $g(\ell )\ne 0$. Montrer que $N(\ell +h)-\ell \sim \frac{h}{2}$ quand $h\to 0$ : la convergence n'est plus que géométrique, de raison $\frac{1}{2}$. Exemple : $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$, à partir de $x_0=2$. Énoncer le théorème obtenu.