Suite d'intégrales

Suite d'intégrales

Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x$ . Montrer que $I_{n} \to 0$ , établir la relation $I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , et en déduire un équivalent de $I_{n}$ .

Corrigé

Limite : pour $x \in [0, 1]$ , $0 \leq \frac{x ^{n}}{1 + x} \leq x^{n}$ , donc $0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ (encadrement).

Relation : $I_{n} + I_{n + 1} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 + x )}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ .

Équivalent : la suite $(I_{n})$ est décroissante (intégrandes décroissants en $n$ ), donc $I_{n + 1} \leq I_{n}$ et :

$2 I_{n + 1} \leq I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} \leq 2 I_{n},$

d'où, en appliquant cet encadrement aux rangs $n$ et $n - 1$ : $I_{n} \geq \frac{1}{2 ( n + 1 )}$ et $I_{n} \leq \frac{1}{2 n}$ . Par encadrement d'équivalents :

$I_{n} \sim \frac{1}{2 n} .$

(Au passage, $I_{0} = ln 2$ et la relation donne la somme alternée $\sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{k}$ : ces intégrales « cachent » la série de $ln 2$ .)

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables