Suite d'intégrales

Limite : pour $x\in [0,1]$, $0\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$, donc $0\le I_n\le {\int }_0^1{x}^n=\frac{1}{n+1}\to 0$ (encadrement).

Relation : $I_n+I_{n+1}={\int }_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$.

Équivalent : la suite $(I_n)$ est décroissante (intégrandes décroissants en $n$), donc $I_{n+1}\le I_n$ et :

$$2I_{n+1}\le I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}\le 2I_n,$$

d'où, en appliquant cet encadrement aux rangs $n$ et $n-1$ : $I_n\ge \frac{1}{2(n+1)}$ et $I_n\le \frac{1}{2n}$. Par encadrement d'équivalents :

$$\boxed{I_n\sim \frac{1}{2n}.}$$

(Au passage, $I_0=\ln 2$ et la relation donne la somme alternée $\sum \frac{(-1{)}^k}{k}$ : ces intégrales « cachent » la série de $\ln 2$.)