Un développement limité en l'infini

Stratégie : ramener l'infini en zéro par le changement de variable $u=\frac{1}{x}$. Les développements limités n'existent qu'en un point, et tous les développements usuels sont calibrés en $0$. Il n'y a donc jamais de « développement en $+\infty$ » : on substitue.

La substitution. Posons $u=\frac{1}{x}$, qui tend vers $0^{+}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Alors $x=\frac{1}{u}$ et $$x-x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{u}-\frac{\ln (1+u)}{u^2}=\frac{u-\ln (1+u)}{u^2}.$$

Le décompte des ordres. Le dénominateur est $u^2$ : il faut le numérateur à l'ordre $2$ au moins. Or $\ln (1+u)=u+\dots$ : le terme $u$ s'élimine, et c'est le terme suivant qui portera la limite. On prend donc l'ordre $3$, ce qui donnera même un terme de plus que demandé.

Le calcul. De $\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+o\left(u^3\right)$ on tire $$u-\ln (1+u)=\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}+o\left(u^3\right),$$ puis, en divisant par $u^2$ : $$\frac{u-\ln (1+u)}{u^2}=\frac{1}{2}-\frac{u}{3}+o(u)\underset{u\to 0}{\to }\frac{1}{2}.$$ $$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{2}.}$$

On a obtenu davantage que la limite. En revenant à $x$, le calcul livre le développement asymptotique $$x-x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right),$$ qui dit non seulement vers quoi l'expression tend, mais par en dessous, et à quelle vitesse.

⚠️ Le point délicat. L'expression de départ est une différence de deux quantités qui tendent vers $+\infty$ : la tentation est d'écrire $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\sim \frac{1}{x}$ et d'en déduire $x^2\cdot \frac{1}{x}=x$, donc une limite nulle. C'est faux, et pour la raison habituelle : un équivalent du facteur ne suffit pas quand on le soustrait à autre chose. Il fallait deux termes du logarithme, pas un.

Contrôle numérique. En $x=100$ : $100-10000\times \ln (1,01)=0,496691$, à comparer à $\frac{1}{2}-\frac{1}{300}=0,496667$. Le développement à deux termes est juste à cinq décimales, alors que la limite seule ne donnait que deux décimales.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe $u=\frac{1}{x}$, qui transporte toute question en $+\infty$ vers une question en $0$ — le seul endroit où l'on sait développer. C'est la même substitution qui donnera les asymptotes obliques.