mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Un équivalent mesure une erreur relative : composer par $exp$ et par $ln$

Analyse asymptotique · A. Relations de comparaison · niveau 2

Énoncé

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ ( $a \in R$ , ou $a = \pm \infty$ ), qui ne s'annulent pas au voisinage de $a$ .

a) Si $f \sim g$ en $a$ , a-t-on $f - g \to 0$ ? Et si, de plus, $g$ est bornée au voisinage de $a$ ?

b) Montrer que $e^{f} \sim e^{g}$ en $a$ si et seulement si $f - g \to 0$ . En déduire que $f \sim g$ n'entraîne pas $e^{f} \sim e^{g}$ en général, mais l'entraîne dès que $g$ est bornée.

c) On suppose $f > 0$ , $g > 0$ , $f \sim g$ et $g \to ℓ$ , avec $ℓ \in [0, + \infty]$ et $ℓ \neq = 1$ . Montrer que $ln f \sim ln g$ (écrire $ln f = ln g + ln \frac{f}{g}$ ). Donner un contre-exemple lorsque $ℓ = 1$ , avec $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ et $g (x) = 1 + \frac{2}{x}$ en $+ \infty$ .

d) Si $f = o (g)$ , a-t-on $f + g \sim g$ ?

e) Application. En $+ \infty$ , on a $x^{2} + 1 \sim x$ et $x^{2} + x \sim x$ . Montrer que $e^{x^{2} + 1} \sim e^{x}$ , mais que $e^{x^{2} + x} \sim e e^{x}$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $f \sim g$ signifie $\frac{f}{g} \to 1$ , c'est-à-dire $f = g + o (g)$ — un équivalent contrôle un rapport, jamais une différence. Et les règles du cours : produits, quotients, puissances d'équivalents ; deux fonctions équivalentes ont même signe et même limite. La stratégie est de ramener chaque question au rapport $\frac{f}{g}$ .

a) Une différence n'est pas contrôlée. C'est faux en général : en $+ \infty$ , $f (x) = x^{2} + x$ et $g (x) = x^{2}$ vérifient $\frac{f ( x )}{g ( x )} = 1 + \frac{1}{x} \to 1$ , donc $f \sim g$ , alors que $f (x) - g (x) = x \to + \infty$ . Deux fonctions équivalentes peuvent s'éloigner autant qu'on veut, pourvu qu'elles le fassent peu devant leur propre taille. C'est vrai si $g$ est bornée : si $∣ g ∣ \leq M$ au voisinage de $a$ , $∣ f - g ∣ = ∣ g ∣ \frac{f}{g} - 1 \leq M \frac{f}{g} - 1 ⟶ 0.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $e^{f} \sim e^{g}$ en $a$ si et seulement si $f - g \to 0$ . En déduire que $f \sim g$ n'entraîne pas $e^{f} \sim e^{g}$ en général, mais l'entraîne dès que $g$ est bornée.

Élève

Pour b), j'aurais voulu composer $f \sim g$ par l'exponentielle, mais le a) laisse penser que ce n'est pas permis en général. Je ne sais pas par où attaquer l'équivalence.

Reviens à la définition : $e^{f} \sim e^{g}$ porte sur un rapport. Écris ce rapport : que devient-il grâce aux propriétés de l'exponentielle ?

Élève

Le rapport vaut $e^{f - g}$ , donc $e^{f} \sim e^{g}$ revient à dire que $e^{f - g}$ tend vers $1$ .

Oui. Il reste à voir que, pour une fonction $h$ , $e^{h} \to 1$ équivaut à $h \to 0$ : quel argument donne chacun des deux sens ? Ensuite, quel exemple du a) fournit le contre-exemple, et que t'apporte le a) quand $g$ est bornée ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Un équivalent mesure une erreur relative : composer par $exp$ et par $ln$