Une limite qui exige l'ordre 4

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 9 — Analyse asymptotique · C. Limites

Énoncé

Calculer $x \to 0 lim \frac{cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{4}}$ .

Corrigé

Le numérateur annule les termes d'ordre $\leq 3$ du cosinus : il faut le $DL_{4}$ ,

$cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4}) ⟹ cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4}) \sim \frac{x ^{4}}{24} .$

D'où la limite $\frac{1}{24}$ . (Morale : prévoir l'ordre — chaque simplification au numérateur coûte un ordre de plus.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.