$x/(e^x-1)$ : factoriser, inverser, et une parité cachée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le développement de l'exponentielle ; la règle du quotient ; l'unicité des coefficients d'un développement limité et sa conséquence pour les fonctions paires ; et la méthode du cours : factoriser le terme prépondérant pour prévoir l'ordre.

a) Factoriser, puis inverser. Le dénominateur s'annule en $0$ : la règle du quotient ne s'applique pas telle quelle. On sort le facteur responsable de l'annulation, avec l'exponentielle à l'ordre $4$ : $$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)=x(1+v),$$ avec $v=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+o(x^3)$. La factorisation par $x$ coûte un ordre : pour avoir $v$ à l'ordre $3$, il fallait $e^x-1$ à l'ordre $4$. Pour $x\ne 0$, $\phi (x)=\frac{1}{1+v}$ avec $v\to 0$ ; comme $v$ est d'ordre $1$, il faut aller jusqu'à $v^3$. En ne gardant que les termes d'ordre au plus $3$, $v^2=\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $v^3=\frac{x^3}{8}+o(x^3)$, d'où $$\phi (x)=1-v+v^2-v^3+o(v^3)=1-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)x^2+\left(-\frac{1}{24}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)x^3+o(x^3),$$ le reste $o(v^3)$ étant un $o(x^3)$ puisque $v\sim \frac{x}{2}$. Comme $\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$ et $-\frac{1}{24}+\frac{4}{24}-\frac{3}{24}=0$ : $$\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+0\cdot x^3+o(x^3).$$

b) Une parité cachée. Pour $x\ne 0$, en multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$g(-x)=\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{x}{2}=\frac{x{e}^x}{e^x-1}-\frac{x}{2},$$ donc $$g(x)-g(-x)=\frac{x-x{e}^x}{e^x-1}+x=-x+x=0.$$ Avec $g(0)=1$, $g$ est paire. Elle admet un développement limité en $0$ à tout ordre — celui de $\phi$ plus $\frac{x}{2}$, et $\phi$ se développe à tout ordre comme inverse de $\frac{e^x-1}{x}$, qui vaut $1$ en $0$. Par le cours (unicité appliquée à $g(-x)=g(x)$), ce développement ne contient que des puissances paires. En retranchant $\frac{x}{2}$ : dans le développement de $\phi$, tous les coefficients d'ordre impair au-delà du premier sont nuls. Le zéro devant $x^3$ n'était pas un accident de calcul.

c) Deux coefficients par identification. Grâce au b), $\phi (x)=1-\frac{x}{2}+\alpha x^2+\beta x^4+o(x^5)$ : le reste est en $o(x^5)$ parce que le coefficient de $x^5$ est nul. Multiplions par $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$ ; le produit vaut exactement $x$. Ses coefficients, jusqu'à l'ordre $5$ :

• en $x$ : $1$ ; en $x^2$ : $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ;
• en $x^3$ : $\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\alpha =\alpha -\frac{1}{12}$ ;
• en $x^4$ : $\frac{1}{24}-\frac{1}{12}+\frac{\alpha }{2}=\frac{\alpha }{2}-\frac{1}{24}$ ;
• en $x^5$ : $\frac{1}{120}-\frac{1}{48}+\frac{\alpha }{6}+\beta =\beta +\frac{\alpha }{6}-\frac{1}{80}$.

Le produit étant $x$, l'unicité des coefficients impose que tous, sauf le premier, soient nuls. La ligne en $x^3$ donne $\alpha =\frac{1}{12}$ ; la ligne en $x^4$ devient $\frac{1}{24}-\frac{1}{24}=0$ — ce n'est pas une équation mais un contrôle, que la parité annonçait ; la ligne en $x^5$ donne $\beta =\frac{1}{80}-\frac{1}{72}=\frac{9-10}{720}=-\frac{1}{720}$ : $$\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^5).$$ Contrôle : en $x=0,1$, la fonction vaut $0,950833194478$ et le développement $0,950833194444$ — un écart de l'ordre de $x^6$.

d) L'oscillateur à haute température. Posons $x=\frac{\hslash \omega }{kT}$, qui tend vers $0$ quand $T\to +\infty$ : $$⟨E⟩=kT\cdot \frac{x}{e^x-1}=kT\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+o(x^2)\right)=kT-\frac{\hslash \omega }{2}+\frac{(\hslash \omega {)}^2}{12kT}+o\left(\frac{1}{T}\right),$$ puisque $kT\cdot o\left(\frac{1}{T^2}\right)=o\left(\frac{1}{T}\right)$. À haute température, l'oscillateur a l'énergie de référence $kT$, diminuée de $\frac{\hslash \omega }{2}$, puis corrigée d'un terme en $\frac{1}{T}$. La parité dit même davantage : $⟨E⟩+\frac{\hslash \omega }{2}=kTg(x)$ ne contient que des puissances paires de $x$, donc aucun terme en $\frac{1}{T^2}$ ; le suivant est $-\frac{(\hslash \omega {)}^4}{720(kT{)}^3}$. Contrôle : pour $x=\frac{1}{2}$, $\frac{⟨E⟩}{kT}=0,77075$, et les trois termes donnent $0,77083$.

Le point délicat. L'ordre se prévoit avant de calculer : la factorisation par $x$ en coûte un au a), la parité en offre un au c).

Ce que l'exercice installe. Devant un quotient dont le dénominateur s'annule, on factorise le terme prépondérant, on simplifie, on inverse. Et l'on cherche une parité : elle annule d'avance la moitié des coefficients, et les identifications restantes se contrôlent d'elles-mêmes. En physique, c'est la forme de tout passage à la limite classique : on développe en $\frac{\hslash \omega }{kT}$, on lit la valeur classique, puis ses corrections.