$x/(e^x-1)$ : factoriser, inverser, et une parité cachée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le développement de l'exponentielle ; la règle du quotient ; l'unicité des coefficients d'un développement limité et sa conséquence pour les fonctions paires ; et la méthode du cours : factoriser le terme prépondérant pour prévoir l'ordre.

a) Factoriser, puis inverser. Le dénominateur s'annule en $0$ : la règle du quotient ne s'applique pas telle quelle. On sort le facteur responsable de l'annulation, avec l'exponentielle à l'ordre $4$ : $$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)=x(1+v),$$ avec $v=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+o(x^3)$. La factorisation par $x$ coûte un ordre : pour avoir $v$ à l'ordre $3$, il fallait $e^x-1$ à l'ordre $4$. Pour $x\ne 0$, $\phi (x)=\frac{1}{1+v}$ avec $v\to 0$ ; comme $v$ est d'ordre $1$, il faut aller jusqu'à $v^3$. En ne gardant que les termes d'ordre au plus $3$, $v^2=\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $v^3=\frac{x^3}{8}+o(x^3)$, d'où $$\phi (x)=1-v+v^2-v^3+o(v^3)=1-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)x^2+\left(-\frac{1}{24}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)x^3+o(x^3),$$ le reste $o(v^3)$ étant un $o(x^3)$ puisque $v\sim \frac{x}{2}$. Comme $\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$ et $-\frac{1}{24}+\frac{4}{24}-\frac{3}{24}=0$ : $$\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+0\cdot x^3+o(x^3).$$