Le théorème des gendarmes (surveillance épidémiologique)

• Constater qu'on ne peut pas « voir » la tendance : $i_1=15$, $i_2=45$, $i_3\approx 28,3$, $i_4=40$. La suite oscille : elle n'est ni croissante ni décroissante, et aucune lecture des premiers termes ne suffit.
• Encadrer : pour tout $n$, $-1\le (-1{)}^n\le 1$, donc en divisant par $n>0$ et en ajoutant $35$ :

$$35-\frac{20}{n}\le i_n\le 35+\frac{20}{n}.$$

• Faire converger les deux gendarmes : comme $\frac{20}{n}\to 0$, les deux suites encadrantes convergent vers la même limite $35$.
• Conclure : par le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{i}_n=35$.

L'oscillation ne disparaît jamais — $i_n$ n'est égal à $35$ pour aucun $n$ — mais son amplitude $\frac{20}{n}$ s'écrase : l'indicateur se stabilise autour de $35$ cas pour $100000$ habitants.