Le théorème des gendarmes (surveillance épidémiologique)

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 1 — Suites numériques et modèles discrets

Énoncé

Le théorème des gendarmes (surveillance épidémiologique).

Un indicateur hebdomadaire d'incidence, exprimé en cas pour $100000$ habitants, est modélisé pour $n \geq 1$ par

$i_{n} = 35 + \frac{( - 1 ) ^{n} \times 20}{n} .$

Étudier son comportement quand $n$ devient grand.

Corrigé

Constater qu'on ne peut pas « voir » la tendance : $i_{1} = 15$ , $i_{2} = 45$ , $i_{3} \approx 28, 3$ , $i_{4} = 40$ . La suite oscille : elle n'est ni croissante ni décroissante, et aucune lecture des premiers termes ne suffit.
Encadrer : pour tout $n$ , $- 1 \leq (- 1)^{n} \leq 1$ , donc en divisant par $n > 0$ et en ajoutant $35$ :

$35 - \frac{20}{n} \leq i_{n} \leq 35 + \frac{20}{n} .$

Faire converger les deux gendarmes : comme $\frac{20}{n} \to 0$ , les deux suites encadrantes convergent vers la même limite $35$ .
Conclure : par le théorème des gendarmes, $n \to + \infty lim i_{n} = 35$ .

L'oscillation ne disparaît jamais — $i_{n}$ n'est égal à $35$ pour aucun $n$ — mais son amplitude $\frac{20}{n}$ s'écrase : l'indicateur se stabilise autour de $35$ cas pour $100000$ habitants.

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