mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème — Le phosphore d'un lac (géosciences)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Le phosphore d'un lac (géosciences).

Chaque année, $25 %$ de l'eau d'un lac est renouvelée, ce qui évacue la même proportion du phosphore dissous ; le bassin versant y déverse $90$ tonnes de phosphore par an. Le lac contient aujourd'hui $200$ tonnes de phosphore ; on note $u_{n}$ la masse présente au bout de $n$ années, avec $u_{0} = 200$ .

Écrire la relation de récurrence, puis l'expression de $u_{n}$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ .
Une norme environnementale fixe un maximum de $150$ tonnes. Montrer qu'elle ne sera jamais respectée, et déterminer l'apport annuel maximal qui permettrait de la respecter à terme.
L'apport est ramené à $30$ tonnes par an à partir du moment où le lac a atteint son plateau. Combien d'années faut-il alors pour repasser sous les $150$ tonnes ?
Écrire l'algorithme correspondant.
Que retenir de ce modèle ?

Corrigé

Modéliser : il reste $75 %$ du phosphore, et l'on ajoute $90$ tonnes : $u_{n + 1} = 0, 75 u_{n} + 90$ . La solution constante vérifie $c = 0, 75 c + 90$ , soit $c = \frac{90}{0 , 25} = 360$ . La suite $v_{n} = u_{n} - 360$ est géométrique de raison $0, 75$ avec $v_{0} = - 160$ , donc

$u_{n} = 360 - 160 \times 0, 7 5^{n} .$

Limite : $0, 7 5^{n} \to 0$ donc $u_{n} \to 360$ tonnes. Le stock se stabilise, mais très haut.
La norme : la suite est croissante (le terme soustrait diminue) et $u_{0} = 200 > 150$ : la masse ne repassera jamais sous $150$ tonnes. Pour qu'un apport annuel $b$ conduise à un plateau acceptable, il faut

$\frac{b}{0 , 25} \leq 150, soit b \leq 37, 5 tonnes par an .$

L'apport actuel de $90$ tonnes en est très loin.

Après la décision : on repart de $w_{0} = 360$ avec $w_{n + 1} = 0, 75 w_{n} + 30$ . Le nouveau plateau est $\frac{30}{0 , 25} = 120$ tonnes, et $w_{n} = 120 + 240 \times 0, 7 5^{n}$ . On calcule $w_{7} \approx 152, 0$ et $w_{8} \approx 144, 0$ : il faut 8 années pour repasser sous la norme.
Algorithme : voir la fonction ci-dessous, qui redonne bien $8$ .
Ce que dit le modèle : le lac garde la mémoire des apports passés. Le facteur $0, 75$ mesure cette inertie : réduire l'apport agit sur le plateau visé, pas sur la masse présente, qui met des années à s'ajuster. Une décision politique ne produit pas d'effet immédiat, et ce délai est une propriété du système, non un manque de volonté.


def annees_sous_norme(norme):
    """Nombre d'annees pour que la masse de phosphore passe sous `norme`,
    apres reduction de l'apport a 30 tonnes par an."""
    w = 360.0
    n = 0
    while w >= norme:
        w = 0.75 * w + 30    # une annee de plus
        n = n + 1
    return n

print(annees_sous_norme(150))   # 8

Ce problème réunit les trois questions du chapitre : la limite (le plateau), le seuil (le délai), et la lecture du point fixe $\frac{b}{1 - a}$ comme grandeur physique.

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