Problème — Rembourser un prêt étudiant (économie)

• Modéliser : le capital dû produit $0,4\%$ d'intérêts, puis la mensualité est retranchée : $c_{n+1}=1,004c_n-m$. C'est une suite arithmético-géométrique avec $a=1,004$ et $b=-m$.
• Solution constante : $c=1,004c-m$ donne

$$c^{\ast }=\frac{-m}{1-1,004}=\frac{m}{0,004}=250m.$$

Interprétation : si le capital dû valait exactement $250m$, la mensualité paierait tout juste les intérêts et la dette ne bougerait jamais. Ici $c_0=12000$, donc il faut $250m>12000$, soit $m>48$ € : en dessous de $48$ € par mois, la dette augmenterait.

• Cas $m=220$ : $c^{\ast }=55000$, et $c_0-c^{\ast }=-43000$, donc

$$c_n=55000-43000\times 1,004^n.$$

Comme $1,004>1$, cette suite décroît et finit par s'annuler. On calcule $c_{61}\approx 143,90$ et $c_{62}\approx -75,53$ : il faut 62 mensualités, la dernière étant réduite à $143,90\times 1,004\approx 144,47$ €.

• Coût du crédit : le total versé vaut $61\times 220+144,47=13564,47$ €, soit un coût de

$$13564,47-12000\approx 1564\text{ €.}$$

• Avec $m=300$ : voir l'algorithme ci-dessous. On a $c^{\ast }=75000$ et $c_n=75000-63000\times 1,004^n$. L'algorithme renvoie 44 mensualités ; le total versé est $43\times 300+202,77\approx 13103$ €, soit un coût de $1103$ €.
• Comparaison : augmenter la mensualité de $36\%$ raccourcit le prêt de $18$ mois et réduit le coût du crédit de près d'un tiers. La raison tient au point fixe : plus $m$ est grand, plus $250m$ s'éloigne de $12000$, et plus la suite s'en écarte vite.

def nombre_de_mensualites(m):
    """Nombre de mensualites de m euros pour rembourser 12 000 euros a 0,4 % par mois."""
    c = 12000.0
    n = 0
    while c > 0:
        c = 1.004 * c - m    # interets du mois, puis mensualite
        n = n + 1
    return n

print(nombre_de_mensualites(220))   # 62
print(nombre_de_mensualites(300))   # 44

Ici encore, la solution constante n'est pas atteinte : elle sert de repère, et c'est l'écart initial $c_0-c^{\ast }$ qui commande toute la trajectoire.