mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème — Répartition des richesses (sciences sociales)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Répartition des richesses (sciences sociales).

On classe les ménages d'un pays par patrimoine décroissant et on les répartit en dix groupes de même effectif, les déciles. On note $p_{k}$ la part, en pourcentage, du patrimoine total détenue par le $k$ -ième décile, $k = 1$ désignant le plus riche. On modélise cette répartition par une suite géométrique : $p_{k} = p_{1} q^{k - 1}$ , avec $0 < q < 1$ .

Exprimer $p_{1}$ en fonction de $q$ .
Calculer $p_{1}$ pour un pays A où $q = 0, 75$ et un pays B où $q = 0, 90$ .
Montrer que la part des $50 %$ les plus riches vaut $\frac{100}{1 + q ^{5}}$ , et la calculer dans les deux pays.
Calculer le rapport interdécile $\frac{p _{1}}{p _{10}}$ dans les deux pays.
Par balayage, déterminer la valeur de $q$ pour laquelle les $50 %$ les moins dotés détiendraient $10 %$ du patrimoine.
Quelle limite ce modèle a-t-il ?

Corrigé

La somme vaut $100$ : les dix parts se somment à $100 %$ , et c'est une somme géométrique de raison $q \neq = 1$ :

$p_{1} (1 + q + \dots + q^{9}) = p_{1} \times \frac{1 - q ^{10}}{1 - q} = 100, donc p_{1} = \frac{100 ( 1 - q )}{1 - q ^{10}} .$

Deux pays : pour $q = 0, 75$ , $p_{1} \approx 26, 5 %$ ; pour $q = 0, 90$ , $p_{1} \approx 15, 4 %$ . Le décile le plus riche du pays A détient près du double de celui du pays B.
Les cinq premiers déciles : leur part est

$p_{1} + \dots + p_{5} = p_{1} \times \frac{1 - q ^{5}}{1 - q} = \frac{100 ( 1 - q )}{1 - q ^{10}} \times \frac{1 - q ^{5}}{1 - q} = \frac{100 ( 1 - q ^{5} )}{1 - q ^{10}} = \frac{100}{1 + q ^{5}},$

la dernière égalité venant de $1 - q^{10} = (1 - q^{5}) (1 + q^{5})$ . On obtient $80, 8 %$ pour le pays A et $62, 9 %$ pour le pays B ; les $50 %$ les moins dotés détiennent donc respectivement $19, 2 %$ et $37, 1 %$ .

Rapport interdécile : $\frac{p _{1}}{p _{10}} = \frac{p _{1}}{p _{1} q ^{9}} = \frac{1}{q ^{9}}$ , soit environ $13, 3$ pour le pays A et $2, 6$ pour le pays B.
Balayage : la part des $50 %$ les moins dotés vaut $100 - \frac{100}{1 + q ^{5}} = \frac{100 q ^{5}}{1 + q ^{5}}$ . On tabule :

$q part 0, 60 7, 2 % 0, 62 8, 4 % 0, 64 9, 7 % 0, 65 10, 4 %$

La valeur cherchée est comprise entre $0, 64$ et $0, 65$ : $q \approx 0, 64$ .

Limite du modèle : il impose que le rapport entre deux déciles consécutifs soit toujours le même. Les données réelles ne le vérifient pas, surtout au sommet, où le dernier centile concentre une part bien supérieure à ce que prolongerait la géométrique. Le modèle reste utile comme première approximation : il résume toute une répartition par un seul nombre, $q$ .

Un seul paramètre suffit à décrire l'inégalité : plus $q$ est proche de $1$ , plus le profil est plat ; plus $q$ est petit, plus la richesse se concentre.

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