Un plan d'épargne (un point fixe sans plateau)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un plan d'épargne (un point fixe sans plateau).

Un compte rémunéré à $3 %$ par an contient $5000$ € au départ. Le titulaire y verse $1200$ € à la fin de chaque année. On note $u_{n}$ le capital au bout de $n$ années, avec $u_{0} = 5000$ .

Justifier que $u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 1200$ .
Déterminer la solution constante, puis l'expression de $u_{n}$ .
Calculer $u_{10}$ , et déterminer la limite de $(u_{n})$ .
Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $30000$ € ?

Corrigé

Modéliser : le capital est multiplié par $1 + 0, 03 = 1, 03$ , puis augmenté du versement : $u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 1200$ .
Solution constante : on cherche $c$ tel que $c = 1, 03 c + 1200$ , soit $- 0, 03 c = 1200$ et

$c = \frac{1200}{1 - 1 , 03} = - 40 000.$

On pose $v_{n} = u_{n} - c = u_{n} + 40000$ : alors $(v_{n})$ est géométrique de raison $1, 03$ , avec $v_{0} = 45000$ . Donc $v_{n} = 45000 \times 1, 0 3^{n}$ et

$u_{n} = - 40000 + 45000 \times 1, 0 3^{n} .$

Valeur et limite : $u_{10} = - 40000 + 45000 \times 1, 0 3^{10} \approx 20476$ €. Comme $1, 03 > 1$ , on a $1, 0 3^{n} \to + \infty$ , donc $u_{n} \to + \infty$ : le capital croît sans borne.
Seuil : $u_{14} \approx 28067$ et $u_{15} \approx 30109$ . Le capital dépasse $30000$ € au bout de 15 ans.

Le point fixe vaut ici $- 40000$ € : il n'a aucune signification concrète, et la suite s'en éloigne au lieu de s'en approcher — c'est le cas $a > 1$ . La solution constante reste un outil de calcul, même quand elle ne décrit aucun équilibre réel.