Un seuil, et un modèle qui craque (biologie) — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Un seuil, et un modèle qui craque (biologie)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Un seuil, et un modèle qui craque (biologie).

Dans un service hospitalier, les souches résistantes à un antibiotique représentent aujourd'hui $2 %$ des bactéries isolées. On estime que cette part augmente de $25 %$ par an, en valeur relative. On note $p_{n}$ la proportion au bout de $n$ années, avec $p_{0} = 0, 02$ .

Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ , et déterminer la limite de $(p_{n})$ .
Quand la moitié des souches sera-t-elle résistante ?
Que renvoie l'algorithme pour un seuil de $100 %$ ? Qu'en conclure ?

On dispose de la fonction suivante, qui avance d'année en année tant que le seuil n'est pas franchi, en comptant les tours.


def annee_seuil(seuil):
    """Premiere annee ou la part de souches resistantes depasse `seuil`."""
    p = 0.02
    n = 0
    while p <= seuil:
        p = 1.25 * p
        n = n + 1
    return n

print(annee_seuil(0.5))   # 15
print(annee_seuil(1.0))   # 18

Corrigé

Le modèle : $(p_{n})$ est géométrique de raison $1, 25$ , donc $p_{n} = 0, 02 \times 1, 2 5^{n}$ . Comme $1, 25 > 1$ , sa limite est $+ \infty$ .
Lecture du résultat : $p_{14} \approx 0, 455$ et $p_{15} \approx 0, 568$ . La moitié des souches serait résistante au bout de 15 ans.
Ce que l'algorithme révèle : il renvoie $18$ , c'est-à-dire que le modèle prédit $p_{18} \approx 1, 11$ , soit $111 %$ de souches résistantes. C'est impossible. La raison est structurelle : la limite trouvée à la première question est $+ \infty$ , alors qu'une proportion reste comprise entre $0$ et $1$ .

Le modèle géométrique n'est acceptable que tant que la proportion reste petite. L'algorithme n'est pas en cause : il calcule exactement ce qu'on lui a demandé, et c'est le modèle qu'il faut abandonner.