Un polluant qui disparaît d'un lac — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 10)

Un polluant qui disparaît d'un lac

Statistique à deux variables quantitatives · niveau 2

Énoncé

Un polluant qui disparaît d'un lac.

Après un accident industriel, on suit la concentration $c$ d'un polluant dans l'eau d'un lac (en mg/L), semaine après semaine :

$semaine t c (mg/L) 0 48, 0 1 39, 5 2 32, 0 3 26, 5 4 21, 5 5 17, 5 6 14, 5$

Justifier qu'un ajustement affine de $c$ en $t$ est mal adapté, et proposer un changement de variable.
Ajuster $z = ln c$ en $t$ et donner $r$ .
En déduire un modèle $c = A e^{k t}$ , puis le temps de demi-disparition.
Au bout de combien de semaines la concentration passera-t-elle sous le seuil sanitaire de $5$ mg/L ? Cette réponse est-elle une interpolation ?

Corrigé

Forme du nuage. Les baisses successives valent $8, 5$ ; $7, 5$ ; $5, 5$ ; $5, 0$ ; $4, 0$ ; $3, 0$ : elles diminuent, le nuage est donc courbé (concave vers le haut). En revanche les rapports successifs, $\frac{39 , 5}{48 , 0} \approx 0, 82$ , $\frac{32 , 0}{39 , 5} \approx 0, 81$ , $\frac{26 , 5}{32 , 0} \approx 0, 83$ , sont quasiment constants : c'est la signature d'un modèle exponentiel. On pose $z = ln c$ .
Ajustement des logarithmes.

$t z = ln c 0 3, 871 1 3, 676 2 3, 466 3 3, 277 4 3, 068 5 2, 862 6 2, 674$

La calculatrice donne $z = - 0, 2006 t + 3, 8725$ avec $r \approx - 0, 9999$ : les sept points sont pratiquement sur une droite.

Retour au modèle.

$c = e^{z} = e^{3, 8725} e^{- 0, 2006 t} \approx 48, 1 e^{- 0, 2006 t} .$

Le temps de demi-disparition $T$ vérifie $e^{- 0, 2006 T} = \frac{1}{2}$ , soit

$T = \frac{ln 2}{0 , 2006} \approx 3, 46 semaines,$

soit environ $24$ jours.

Seuil sanitaire. On résout $48, 1 e^{- 0, 2006 t} = 5$ :

$e^{- 0, 2006 t} = \frac{5}{48 , 1} ⟺ - 0, 2006 t = ln 5 - 3, 8725 ⟺ t = \frac{3 , 8725 - ln 5}{0 , 2006} \approx 11, 3 semaines.$

Ce n'est pas une interpolation : les mesures s'arrêtent à la semaine $6$ , et $11, 3$ est presque au double. La réponse suppose que le mécanisme de dégradation reste le même — ce qui est plausible, mais qu'il faudrait confirmer par de nouvelles mesures.