Un polluant qui disparaît d'un lac

• Forme du nuage. Les baisses successives valent $8,5$ ; $7,5$ ; $5,5$ ; $5,0$ ; $4,0$ ; $3,0$ : elles diminuent, le nuage est donc courbé (concave vers le haut). En revanche les rapports successifs, $\frac{39,5}{48,0}\approx 0,82$, $\frac{32,0}{39,5}\approx 0,81$, $\frac{26,5}{32,0}\approx 0,83$, sont quasiment constants : c'est la signature d'un modèle exponentiel. On pose $z=\ln c$.
• Ajustement des logarithmes.

$$\begin{array}{lccccccc}t& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ z=\ln c& 3,871& 3,676& 3,466& 3,277& 3,068& 2,862& 2,674\end{array}$$

La calculatrice donne $z=-0,2006t+3,8725$ avec $r\approx -0,9999$ : les sept points sont pratiquement sur une droite.

• Retour au modèle.

$$c=e^z=e^{3,8725}{e}^{-0,2006t}\approx 48,1e^{-0,2006t}.$$

Le temps de demi-disparition $T$ vérifie $e^{-0,2006T}=\frac{1}{2}$, soit

$$T=\frac{\ln 2}{0,2006}\approx 3,46\text{ semaines,}$$

soit environ $24$ jours.

• Seuil sanitaire. On résout $48,1e^{-0,2006t}=5$ :

$$e^{-0,2006t}=\frac{5}{48,1}⟺-0,2006t=\ln 5-3,8725⟺t=\frac{3,8725-\ln 5}{0,2006}\approx 11,3\text{ semaines.}$$

Ce n'est pas une interpolation : les mesures s'arrêtent à la semaine $6$, et $11,3$ est presque au double. La réponse suppose que le mécanisme de dégradation reste le même — ce qui est plausible, mais qu'il faudrait confirmer par de nouvelles mesures.