Balayage ou dichotomie ?

• Tableau. C'est un produit :

$$i^{\prime }(t)=300e^{-0,25t}+300t\times (-0,25)e^{-0,25t}=75(4-t)e^{-0,25t},$$

du signe de $4-t$.

$$\begin{array}{cccccc}t& 0& & 4& & 20\\ i^{\prime }(t)& & +& 0& -& \\ i& 0& \nearrow & \frac{1200}{e}& \searrow & 6000e^{-5}\end{array}$$

Le pic vaut exactement $\frac{1200}{e}\approx 441,5$ consultations, à la quatrième semaine.

• Deux solutions. Sur $[0;4]$, $i$ est continue et strictement croissante de $0$ à $441,5$ : comme $400$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) en donne une, et une seule. Sur $[4;20]$, $i$ décroît de $441,5$ à $6000e^{-5}\approx 40,4$ : encore une seule. Total : deux.
• Encadrements. Le balayage au pas $0,1$ donne $i(2,4)\approx 395,1<400$ et $i(2,5)\approx 401,4\ge 400$ sur la branche croissante ; $i(6,0)\approx 401,6>400$ et $i(6,1)\approx 398,2<400$ sur la branche décroissante. La dichotomie, lancée sur $[2;3]$ puis sur $[6;7]$, donne en dix étapes

$$t_1\approx 2,476\text{et}{t}_2\approx 6,048.$$

• Durée et coût. L'alerte dure $t_2-t_1\approx 3,57$ semaines, soit environ $25$ jours. Pour une précision de $10^{-3}$, le balayage depuis $0$ demanderait $2477$ tours de boucle ; la dichotomie, dix, puisque $1/2^{10}<10^{-3}$. Mais la dichotomie a besoin d'un intervalle de départ où la fonction est monotone et change de côté : c'est le balayage — ou le tableau de variation — qui le lui fournit.

from math import exp

i = lambda t: 300 * t * exp(-0.25 * t)

def dichotomie(f, a, b, k, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if (f(a) - k) * (f(m) - k) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

print([round(v, 3) for v in dichotomie(i, 2, 3, 400, 0.001)])  # [2.476, 2.477]
print([round(v, 3) for v in dichotomie(i, 6, 7, 400, 0.001)])  # [6.048, 6.049]