Balayage ou dichotomie ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 11 — Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

Énoncé

Balayage ou dichotomie ?

Le nombre hebdomadaire de consultations pour syndrome grippal, dans une ville, est modélisé sur $[0; 20]$ par

$i (t) = 300 t e^{- 0, 25 t}, t en semaines depuis le d e ˊ but de l’ e ˊ pid e ˊ mie.$

Le seuil d'alerte est fixé à $400$ consultations par semaine.

Dresser le tableau de variation de $i$ et donner le pic en valeur exacte.
Justifier que l'équation $i (t) = 400$ a exactement deux solutions.
Les encadrer par balayage au pas $0, 1$ , puis affiner par dichotomie.
Combien de temps l'alerte dure-t-elle ? Comparer le coût des deux algorithmes pour une précision de $1 0^{- 3}$ .

Corrigé

Tableau. C'est un produit :

$i^{'} (t) = 300 e^{- 0, 25 t} + 300 t \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = 75 (4 - t) e^{- 0, 25 t},$

du signe de $4 - t$ .

$t i^{'} (t) i 00 + ↗ 40 \frac{1 200}{e} - ↘ 20 6000 e^{- 5}$

Le pic vaut exactement $\frac{1 200}{e} \approx 441, 5$ consultations, à la quatrième semaine.

Deux solutions. Sur $[0; 4]$ , $i$ est continue et strictement croissante de $0$ à $441, 5$ : comme $400$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) en donne une, et une seule. Sur $[4; 20]$ , $i$ décroît de $441, 5$ à $6000 e^{- 5} \approx 40, 4$ : encore une seule. Total : deux.
Encadrements. Le balayage au pas $0, 1$ donne $i (2, 4) \approx 395, 1 < 400$ et $i (2, 5) \approx 401, 4 \geq 400$ sur la branche croissante ; $i (6, 0) \approx 401, 6 > 400$ et $i (6, 1) \approx 398, 2 < 400$ sur la branche décroissante. La dichotomie, lancée sur $[2; 3]$ puis sur $[6; 7]$ , donne en dix étapes

$t_{1} \approx 2, 476 et t_{2} \approx 6, 048.$

Durée et coût. L'alerte dure $t_{2} - t_{1} \approx 3, 57$ semaines, soit environ $25$ jours. Pour une précision de $1 0^{- 3}$ , le balayage depuis $0$ demanderait $2477$ tours de boucle ; la dichotomie, dix, puisque $1/ 2^{10} < 1 0^{- 3}$ . Mais la dichotomie a besoin d'un intervalle de départ où la fonction est monotone et change de côté : c'est le balayage — ou le tableau de variation — qui le lui fournit.


from math import exp

i = lambda t: 300 * t * exp(-0.25 * t)

def dichotomie(f, a, b, k, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if (f(a) - k) * (f(m) - k) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

print([round(v, 3) for v in dichotomie(i, 2, 3, 400, 0.001)])  # [2.476, 2.477]
print([round(v, 3) for v in dichotomie(i, 6, 7, 400, 0.001)])  # [6.048, 6.049]

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