La dose qui maximise l'effet net

• Deux effets opposés. Le terme $100(1-e^{-0,05d})$ est le soulagement : croissant, il sature vers $100$ points. Le terme $-0,5d$ est le coût des effets indésirables : proportionnel à la dose, il ne sature jamais.
• Dérivées. Avec $u(d)=-0,05d$ :

$$E^{\prime }(d)=100\times 0,05e^{-0,05d}-0,5=5e^{-0,05d}-0,5,E^{\prime \prime }(d)=-0,25e^{-0,05d}<0.$$

$E^{\prime \prime }$ est strictement négative : $E$ est concave sur tout l'intervalle. Un seul point annule donc $E^{\prime }$, et c'est nécessairement un maximum — la concavité dispense de discuter.

• Optimum.

$$E^{\prime }(d)=0⟺e^{-0,05d}=0,1⟺-0,05d=-\ln 10,$$

donc $d=20\ln 10\approx 46,05$ mg. Le bénéfice vaut alors

$$E\left(20\ln 10\right)=100\times 0,9-0,5\times 20\ln 10=90-10\ln 10\approx 66,97\text{ points.}$$

• Autour de l'optimum. $E(30)\approx 62,68$, $E(46)\approx 66,97$, $E(70)\approx 61,98$. Le sommet est très plat : en descendant de $46$ à $30$ mg, on perd $6\%$ de bénéfice pour un tiers de médicament en moins. Comme les effets indésirables graves ne sont pas dans le modèle, on prescrira la dose la plus basse compatible avec le soulagement attendu, et non l'optimum mathématique.