La loi de Kleiber — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 11)

La loi de Kleiber

Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable · niveau 2

Énoncé

La loi de Kleiber.

Le métabolisme de base $B$ (dépense énergétique au repos, en kcal par jour) de six mammifères est mis en regard de leur masse $m$ (en kg).

$m (kg) B (kcal/j) 0, 025 4, 5 0, 25 24, 4 2, 5 141 2577025044606008380$

La masse est multipliée par $10$ d'une colonne à l'autre (sauf la dernière). Le métabolisme l'est-il ? Qu'en conclure sur la forme du modèle ?
Effectuer le changement de variable adapté et donner la droite des moindres carrés, sachant que $x ˉ = 1, 830$ , $y ˉ = 5, 622$ , $cov (x, y) = 9, 736$ et $V (x) = 13, 008$ .
En déduire le modèle, et le confronter aux données.
Prévoir le métabolisme d'un homme de $70$ kg, puis d'un éléphant de $4000$ kg. Que penser de la seconde prévision ?

Corrigé

Ce n'est pas proportionnel. De $0, 25$ à $2, 5$ kg, $B$ passe de $24, 4$ à $141$ : le facteur est $5, 8$ , non $10$ . Le rapport est le même à chaque étage, ce qui est la signature d'une loi puissance $B = A m^{c}$ , avec $c < 1$ .
Log-log. On pose $x = ln m$ et $y = ln B$ :

$x = ln m y = ln B - 3, 689 1, 504 - 1, 386 3, 195 0, 916 4, 949 3, 219 6, 646 5, 521 8, 403 6, 397 9, 034$

Alors

$a = \frac{cov ( x , y )}{V ( x )} = \frac{9 , 736}{13 , 008} = 0, 7485, b = y ˉ - a x ˉ = 5, 622 - 0, 7485 \times 1, 830 = 4, 252.$

Le coefficient de corrélation vaut $r = 0, 99999$ : l'alignement est exceptionnel.

Retour au modèle. $A = e^{4, 252} \approx 70, 3$ et $c \approx 0, 75$ , d'où

$B = 70 m^{0, 75} .$

Elle rend les mesures : $70 \times 0, 02 5^{0, 75} = 4, 40$ (mesuré $4, 5$ ), $70 \times 25 0^{0, 75} = 4401$ (mesuré $4460$ ).

Deux prévisions. Pour l'homme, $B = 70 \times 7 0^{0, 75} \approx 1694$ kcal/j, ce qui est la valeur admise. Pour l'éléphant, $B = 70 \times 400 0^{0, 75} \approx 35200$ kcal/j : la masse dépasse de plus de six fois la plus grande masse mesurée, c'est une extrapolation. Elle est ici raisonnable — la loi de Kleiber est vérifiée sur vingt ordres de grandeur — mais rien dans ce tableau ne le garantissait.

L'exposant $0, 75$ dit l'essentiel : multiplier la masse par $1000$ ne multiplie le métabolisme que par $100 0^{0, 75} \approx 178$ . Un gros animal dépense beaucoup moins par kilogramme qu'un petit.