Le record du 100 mètres — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 11)

Le record du

100

mètres

Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable · niveau 1 (application)

Énoncé

Le record du $100$ mètres.

Voici sept records du monde du $100$ mètres masculin.

$Ann e ˊ e Temps (s) 1912 10, 60 1936 10, 20 1968 9, 95 1983 9, 93 1991 9, 86 1999 9, 79 2009 9, 58$

La droite des moindres carrés du temps en fonction de l'année est $y = - 0, 009045 x + 27, 816$ , avec $r = - 0, 973$ .

Interpréter la pente.
Le modèle prévoit-il correctement le record de $1950$ ? de $2024$ ?
En quelle année le modèle annonce-t-il un temps nul ? Que conclure ?
Quelle forme de fonction serait plus raisonnable, et pourquoi ?

Corrigé

Pente. $- 0, 009045$ seconde par an, soit environ $- 0, 90$ seconde par siècle. Sur la période observée, le record s'améliore d'un peu moins d'un centième de seconde par an.
Deux prévisions. Pour $1950$ , le modèle donne $- 0, 009045 \times 1950 + 27, 816 \approx 10, 18$ s ; le record en vigueur était $10, 2$ s. C'est une interpolation, et elle est bonne. Pour $2024$ , il donne $9, 51$ s ; or le record est resté $9, 58$ s depuis $2009$ . C'est une extrapolation, et elle est déjà démentie.
Absurdité. Le modèle annonce $y = 0$ pour

$x = \frac{27 , 816}{0 , 009045} \approx 3 075.$

Un temps nul, puis négatif : le modèle affine ne peut pas être vrai indéfiniment. Le défaut n'est pas dans les données ni dans le calcul, il est dans la forme choisie.

Ce qu'il faudrait. Une fonction décroissante, convexe et minorée, c'est-à-dire admettant une asymptote horizontale strictement positive : par exemple $y = L + A e^{- λ x}$ , où $L > 0$ est la limite physiologique. Le nuage seul ne peut pas la faire apparaître — c'est la connaissance du phénomène qui l'impose, comme la saturation l'imposait pour la forêt.

Un coefficient de corrélation de $- 0, 97$ n'autorise donc rien au-delà de la plage mesurée. Interpoler est une lecture ; extrapoler est un pari.