Problème — Combien de bateaux pour ne pas vider la mer ?

• Ajustement. Plus il y a de bateaux, moins chacun prend : la prise par bateau décroît, et la décroissance semble se ralentir — c'est le profil d'une exponentielle décroissante. On pose $z=\ln U$, ce qui donne $z=\ln A-cE$, affine en $E$ :

$$\begin{array}{lcccccc}E& 50& 100& 150& 200& 250& 300\\ z=\ln U& 2,986& 2,773& 2,588& 2,370& 2,186& 1,974\end{array}$$

Les formules du chapitre 10 donnent $z=-0,004020E+3,183$ avec $r=-0,99979$, donc $A=e^{3,183}\approx 24,1$ et $c\approx 0,00402$. On retient

$$U(E)=24e^{-0,004E}.$$

• Prise totale. $C(E)=E\times U(E)=24E{e}^{-0,004E}$. C'est un produit :

$$C^{\prime }(E)=24e^{-0,004E}+24E\times (-0,004)e^{-0,004E}=24e^{-0,004E}(1-0,004E),$$

soit, en faisant entrer le facteur constant dans la parenthèse,

$$C^{\prime }(E)=0,096(250-E)e^{-0,004E}.$$

L'exponentielle étant positive, $C^{\prime }$ est du signe de $250-E$.

$$\begin{array}{cccccc}E& 0& & 250& & 600\\ C^{\prime }(E)& & +& 0& -& \\ C& 0& \nearrow & \frac{6000}{e}& \searrow & 14400e^{-2,4}\end{array}$$

• Rendement maximal. L'effort optimal est $E=250$ bateaux, pour

$$C(250)=24\times 250e^{-1}=\frac{6000}{e}\approx 2207\text{ tonnes.}$$

C'est ce que les biologistes des pêches appellent le rendement maximal durable.

• Convexité. En dérivant $C^{\prime }$ :

$$C^{\prime \prime }(E)=0,096e^{-0,004E}(0,004E-2)=0,000384(E-500)e^{-0,004E}.$$

$C$ est concave sur $[0;500]$ et convexe au-delà : le point d'inflexion est à $E=500$ bateaux. Avant $500$, chaque bateau supplémentaire fait perdre de plus en plus ; après, la chute s'atténue — mais uniquement parce qu'il ne reste presque plus rien à prendre.

• Deux efforts pour la même prise. Sur $[0;250]$, $C$ est continue et strictement croissante de $0$ à $2207$ : le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique à $C(E)=1800$. Sur $[250;600]$, $C$ décroît de $2207$ à $14400e^{-2,4}\approx 1307$ : encore une. Le balayage au pas $10$ donne $C(120)\approx 1782<1800$ et $C(130)\approx 1855\ge 1800$, puis $C(440)\approx 1817>1800$ et $C(450)\approx 1785<1800$. La dichotomie, en sept étapes sur chaque intervalle, donne

$$E_1\approx 122,4\text{et}{E}_2\approx 445,3\text{ bateaux.}$$

• Deux mondes. Les $1800$ tonnes s'obtiennent avec $122$ bateaux ou avec $445$. Dans le premier cas chaque bateau prend $U(122,4)\approx 14,7$ tonnes ; dans le second, $U(445,3)\approx 4,0$ tonnes, soit près de quatre fois moins pour le même total débarqué. Toute flottille au-delà de $250$ bateaux travaille donc contre elle-même : plus de carburant, plus d'équipages, plus de pression sur le stock, et pas une tonne de plus.