Problème — Combien de bateaux pour ne pas vider la mer ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 11 — Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

Énoncé

Problème — Combien de bateaux pour ne pas vider la mer ?

Sur une pêcherie, on relève chaque année le nombre $E$ de bateaux en activité et la prise moyenne $U$ par bateau, en tonnes.

$E (bateaux) U (t/bateau) 50 19, 8 100 16, 0 150 13, 3 200 10, 7 250 8, 9 300 7, 2$

Justifier le choix du modèle $U (E) = A e^{- c E}$ , effectuer l'ajustement et retenir des paramètres arrondis.
En déduire la prise totale $C (E)$ de la flottille. Calculer $C^{'} (E)$ , la factoriser, dresser le tableau de variation.
Quel effort maximise la prise totale, et que vaut cette prise en valeur exacte ?
Étudier la convexité de $C$ et interpréter le point d'inflexion.
On vise une prise de $1800$ tonnes. Justifier qu'il existe deux efforts possibles, les encadrer par balayage au pas $10$ puis par dichotomie au dixième.
Comparer les deux solutions du point de vue de l'armateur et du point de vue de la ressource.

Corrigé

Ajustement. Plus il y a de bateaux, moins chacun prend : la prise par bateau décroît, et la décroissance semble se ralentir — c'est le profil d'une exponentielle décroissante. On pose $z = ln U$ , ce qui donne $z = ln A - c E$ , affine en $E$ :

$E z = ln U 50 2, 986 100 2, 773 150 2, 588 200 2, 370 250 2, 186 300 1, 974$

Les formules du chapitre 10 donnent $z = - 0, 004020 E + 3, 183$ avec $r = - 0, 99979$ , donc $A = e^{3, 183} \approx 24, 1$ et $c \approx 0, 00402$ . On retient

$U (E) = 24 e^{- 0, 004 E} .$

Prise totale. $C (E) = E \times U (E) = 24 E e^{- 0, 004 E}$ . C'est un produit :

$C^{'} (E) = 24 e^{- 0, 004 E} + 24 E \times (- 0, 004) e^{- 0, 004 E} = 24 e^{- 0, 004 E} (1 - 0, 004 E),$

soit, en faisant entrer le facteur constant dans la parenthèse,

$C^{'} (E) = 0, 096 (250 - E) e^{- 0, 004 E} .$

L'exponentielle étant positive, $C^{'}$ est du signe de $250 - E$ .

$E C^{'} (E) C 00 + ↗ 2500 \frac{6 000}{e} - ↘ 600 14400 e^{- 2, 4}$

Rendement maximal. L'effort optimal est $E = 250$ bateaux, pour

$C (250) = 24 \times 250 e^{- 1} = \frac{6 000}{e} \approx 2207 tonnes.$

C'est ce que les biologistes des pêches appellent le rendement maximal durable.

Convexité. En dérivant $C^{'}$ :

$C^{''} (E) = 0, 096 e^{- 0, 004 E} (0, 004 E - 2) = 0, 000384 (E - 500) e^{- 0, 004 E} .$

$C$ est concave sur $[0; 500]$ et convexe au-delà : le point d'inflexion est à $E = 500$ bateaux. Avant $500$ , chaque bateau supplémentaire fait perdre de plus en plus ; après, la chute s'atténue — mais uniquement parce qu'il ne reste presque plus rien à prendre.

Deux efforts pour la même prise. Sur $[0; 250]$ , $C$ est continue et strictement croissante de $0$ à $2207$ : le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique à $C (E) = 1800$ . Sur $[250; 600]$ , $C$ décroît de $2207$ à $14400 e^{- 2, 4} \approx 1307$ : encore une. Le balayage au pas $10$ donne $C (120) \approx 1782 < 1800$ et $C (130) \approx 1855 \geq 1800$ , puis $C (440) \approx 1817 > 1800$ et $C (450) \approx 1785 < 1800$ . La dichotomie, en sept étapes sur chaque intervalle, donne

$E_{1} \approx 122, 4 et E_{2} \approx 445, 3 bateaux.$

Deux mondes. Les $1800$ tonnes s'obtiennent avec $122$ bateaux ou avec $445$ . Dans le premier cas chaque bateau prend $U (122, 4) \approx 14, 7$ tonnes ; dans le second, $U (445, 3) \approx 4, 0$ tonnes, soit près de quatre fois moins pour le même total débarqué. Toute flottille au-delà de $250$ bateaux travaille donc contre elle-même : plus de carburant, plus d'équipages, plus de pression sur le stock, et pas une tonne de plus.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.