Problème — Le prix du photovoltaïque et la courbe d'expérience

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 11 — Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

Énoncé

Problème — Le prix du photovoltaïque et la courbe d'expérience.

Les économistes de l'innovation observent que le prix unitaire d'une technologie baisse d'un pourcentage à peu près constant chaque fois que la production cumulée double. On dispose du prix $p$ d'un module photovoltaïque, en euros par watt, en regard de la capacité cumulée installée dans le monde, $q$ , en gigawatts.

$q (GW cumul e ˊ s) p (euros/W) 0, 1 10, 50 1 4, 95 5 3, 01 20 1, 89 100 1, 16 400 0, 79 1000 0, 55$

Quel changement de variable convient ? Écrire la relation affine.
L'ajustement donne $ln p = - 0, 31613 ln q + 1, 60938$ avec $r = - 0, 99970$ . En déduire un modèle arrondi.
Montrer que le prix est multiplié par une constante quand la capacité double, et calculer le taux d'apprentissage.
Étudier variations et convexité du modèle. Quelle capacité cumulée faudrait-il atteindre pour que le module coûte $0, 30$ euro par watt ?
Le prix d'un système complet ajoute au module tout le reste — onduleur, câblage, pose — qui progresse moins vite : $Σ (q) = 5 q^{- 0, 32} + 4 q^{- 0, 15}$ . Déterminer par dichotomie, au gigawatt près, la capacité pour laquelle $Σ (q) = 1, 50$ euro par watt.
Le modèle prévoit un prix qui tend vers $0$ . Discuter.

Corrigé

Log-log. La forme visée est $p = C q^{- α}$ , une loi puissance : on transforme les deux variables, $y = ln p$ et $x = ln q$ . Alors

$y = ln C - α x,$

affine en $x$ . Les valeurs transformées vont de $x = - 2, 303$ à $x = 6, 908$ , et de $y = 2, 351$ à $y = - 0, 598$ .

Modèle. $C = e^{1, 60938} \approx 5, 00$ et $α \approx 0, 316$ , d'où le modèle arrondi

$p (q) = 5 q^{- 0, 32}, q > 0.$

Il donne $p (1) = 5, 00$ (mesuré $4, 95$ ), $p (100) = 1, 15$ (mesuré $1, 16$ ), $p (1000) = 0, 55$ (mesuré $0, 55$ ).

Doublement. Pour tout $q > 0$ ,

$\frac{p ( 2 q )}{p ( q )} = \frac{5 ( 2 q ) ^{- 0, 32}}{5 q ^{- 0, 32}} = 2^{- 0, 32} \approx 0, 801.$

Ce rapport ne dépend pas de $q$ : chaque doublement de la capacité cumulée fait baisser le prix d'environ $20 %$ , quel que soit le point de départ. C'est le taux d'apprentissage de la filière.

Étude et seuil. En écrivant $p (q) = 5 q^{- 0, 32}$ :

$p^{'} (q) = - 1, 6 q^{- 1, 32} < 0, p^{''} (q) = 2, 112 q^{- 2, 32} > 0.$

La fonction est strictement décroissante et convexe : le prix baisse, de moins en moins vite en valeur absolue. Pour $p (q) = 0, 30$ :

$q^{- 0, 32} = \frac{0 , 30}{5} = 0, 06 ⟺ q = 0, 0 6^{- 1/0, 32} = (\frac{5}{0 , 3})^{1/0, 32} \approx 6581 GW.$

Il faudrait installer environ six fois et demie la capacité mondiale actuelle.

Dichotomie. La fonction $Σ$ est continue et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ comme somme de deux fonctions strictement décroissantes. Or $Σ (3000) \approx 1, 589 > 1, 50$ et $Σ (5000) \approx 1, 442 < 1, 50$ : le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique dans $[3000; 5000]$ . La dichotomie l'encadre en onze étapes, puisque $\frac{2 000}{2 ^{11}} \approx 0, 98 < 1$ :

$q \approx 4065 GW.$

Noter au passage que la part du module dans le prix du système tombe de $36 %$ (à $q = 100$ GW) à $23 %$ (à $q = 4000$ GW) : ce n'est plus lui qui commande le prix.

Ce que le modèle ne peut pas dire. $p (q)$ tend vers $0$ quand $q$ devient grand, ce qui est impossible : un module contient du silicium, du verre et de l'aluminium, et sa pose demande du travail. La loi puissance n'a donc aucune borne inférieure intégrée, alors que le phénomène en a une. Deuxième limite, plus subtile : le modèle relie le prix à la capacité cumulée, pas au temps. Il ne dit rien de la date à laquelle $4065$ GW seront atteints — c'est une autre question, et un autre modèle.

iRemarque

Les trois problèmes de ce thème mobilisent la même chaîne : un nuage, un changement de variable qui le redresse (chapitre 10), une fonction que l'on étudie (chapitres 2, 4 et 5), un algorithme qui encadre (chapitre 2), et une discussion de validité. Seuls changent la discipline, la forme du modèle et la conclusion.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.