Problème — Quand ce glacier aura-t-il disparu ?

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 11 — Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

Énoncé

Problème — Quand ce glacier aura-t-il disparu ?

La superficie $S$ d'un glacier alpin, en km $^{2}$ , est relevée tous les dix ans depuis $1900$ . On note $t$ le nombre d'années écoulées depuis $1900$ .

$Ann e ˊ e S 1900 4, 20 1910 4, 12 1920 4, 02 1930 3, 91 1940 3, 78 1950 3, 64 1960 3, 48 1970 3, 28 1980 3, 05 1990 2, 52 2000 2, 09 2010 1, 72 2020 1, 43$

On ajuste $S = S_{0} e^{- k t}$ sur tout le siècle. Le calcul donne $ln S = - 0, 008406 t + 1, 607$ avec $r = - 0, 923$ , et les écarts successifs entre mesure et modèle valent $- 0, 79$ ; $- 0, 47$ ; $- 0, 20$ ; $+ 0, 03$ ; $+ 0, 22$ ; $+ 0, 36$ ; $+ 0, 47$ ; $+ 0, 51$ ; $+ 0, 50$ ; $+ 0, 18$ ; $- 0, 06$ ; $- 0, 26$ ; $- 0, 39$ . Que révèle cette suite d'écarts ? Le modèle est-il acceptable ?
On se restreint à la période $1980$ – $2020$ . L'ajustement donne $ln S = - 0, 018969 t + 2, 632$ avec $r = - 0, 999975$ . Écrire le modèle exponentiel retenu sous la forme $S (t) = 3, 05 e^{- 0, 019 (t - 80)}$ et vérifier qu'il restitue les cinq mesures.
Étudier ce modèle : variations, convexité, limite. Le glacier disparaît-il ?
Sur la même période, l'ajustement affine donne $S (t) = 2, 97 - 0, 0404 (t - 80)$ , avec $r = - 0, 9937$ . Quelle année ce second modèle annonce-t-il la disparition ?
Comparer les deux prévisions pour $S = 1$ , $S = 0, 5$ et $S = 0, 1$ km $^{2}$ .
À partir de quelle année les deux modèles diffèrent-ils de plus de $0, 25$ km $^{2}$ ? Encadrer par dichotomie au dixième d'année.
Que retenir ?

Corrigé

Les écarts ne sont pas au hasard. Ils sont d'abord négatifs, puis positifs pendant sept relevés consécutifs, puis de nouveau négatifs : ils dessinent un arc, non un nuage désordonné. Un modèle correct laisse des écarts de signes alternés ; ici le signe change deux fois seulement, ce qui signale que la forme est fausse. Le coefficient $r = - 0, 923$ le confirme. Le modèle exponentiel unique est refusé.
La période récente. $e^{2, 632 - 0, 018969 \times 80} = e^{1, 1147} \approx 3, 049$ , d'où la forme annoncée. Elle donne

$Ann e ˊ e mod e ˋ le mesure 1980 3, 05 3, 05 1990 2, 52 2, 52 2000 2, 09 2, 09 2010 1, 73 1, 72 2020 1, 43 1, 43$

L'accord est presque parfait — sur ces quarante ans, le retrait est bien exponentiel.

Étude. $S^{'} (t) = - 0, 019 \times 3, 05 e^{- 0, 019 (t - 80)} = - 0, 05795 e^{- 0, 019 (t - 80)} < 0$ : la superficie décroît. Et $S^{''} (t) = 0, 0011 e^{- 0, 019 (t - 80)} > 0$ : la fonction est convexe, donc le retrait ralentit en valeur absolue. Enfin $S (t)$ tend vers $0$ sans jamais l'atteindre : mathématiquement, le glacier ne disparaît jamais. C'est le premier signal d'alarme sur ce modèle.
Le modèle affine. $S (t) = 0$ pour

$t = 80 + \frac{2 , 97}{0 , 0404} \approx 153, 5,$

soit vers l'année 2054.

Trois seuils, deux réponses.

$Superficie vis e ˊ e mod e ˋ le exponentiel mod e ˋ le affine 1 km^{2} 20392029 0, 5 km^{2} 20752041 0, 1 km^{2} 21602051$

Les deux modèles décrivent aussi bien les quarante dernières années, et divergent d'un siècle sur la dernière colonne.

Dichotomie. On pose $g (t) = S_{e x p} (t) - S_{aff} (t)$ , qui est continue et strictement croissante sur $[125; 140]$ , avec $g (125) \approx 0, 145 < 0, 25$ et $g (140) \approx 0, 429 > 0, 25$ : le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique. La dichotomie l'encadre en huit étapes, puisque $\frac{15}{2 ^{8}} \approx 0, 06 < 0, 1$ :

$t \in] 131, 09; 131, 16 [,$

soit dès l'année 2031.

Ce qu'il faut retenir. Deux modèles peuvent restituer les mêmes données à la troisième décimale et donner, dix ans plus tard, des réponses incompatibles. Le choix entre eux ne se fait pas sur $r$ : il se fait sur ce que l'on sait de la physique du glacier — l'exponentielle suppose que la perte est proportionnelle à la surface restante, l'affine qu'elle est constante. Aucune des deux n'est vraie près de la fin, quand il ne reste qu'un névé de quelques hectares.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.