Problème — Quand ce glacier aura-t-il disparu ?

• Les écarts ne sont pas au hasard. Ils sont d'abord négatifs, puis positifs pendant sept relevés consécutifs, puis de nouveau négatifs : ils dessinent un arc, non un nuage désordonné. Un modèle correct laisse des écarts de signes alternés ; ici le signe change deux fois seulement, ce qui signale que la forme est fausse. Le coefficient $r=-0,923$ le confirme. Le modèle exponentiel unique est refusé.
• La période récente. $e^{2,632-0,018969\times 80}=e^{1,1147}\approx 3,049$, d'où la forme annoncée. Elle donne

$$\begin{array}{lccccc}\text{Anneˊe}& 1980& 1990& 2000& 2010& 2020\\ \text{modeˋle}& 3,05& 2,52& 2,09& 1,73& 1,43\\ \text{mesure}& 3,05& 2,52& 2,09& 1,72& 1,43\end{array}$$

L'accord est presque parfait — sur ces quarante ans, le retrait est bien exponentiel.

• Étude. $S^{\prime }(t)=-0,019\times 3,05e^{-0,019(t-80)}=-0,05795e^{-0,019(t-80)}<0$ : la superficie décroît. Et $S^{\prime \prime }(t)=0,0011e^{-0,019(t-80)}>0$ : la fonction est convexe, donc le retrait ralentit en valeur absolue. Enfin $S(t)$ tend vers $0$ sans jamais l'atteindre : mathématiquement, le glacier ne disparaît jamais. C'est le premier signal d'alarme sur ce modèle.
• Le modèle affine. $S(t)=0$ pour

$$t=80+\frac{2,97}{0,0404}\approx 153,5,$$

soit vers l'année 2054.

• Trois seuils, deux réponses.

$$\begin{array}{lccc}\text{Superficie viseˊe}& 1{\text{ km}}^2& 0,5{\text{ km}}^2& 0,1{\text{ km}}^2\\ \text{modeˋle exponentiel}& 2039& 2075& 2160\\ \text{modeˋle affine}& 2029& 2041& 2051\end{array}$$

Les deux modèles décrivent aussi bien les quarante dernières années, et divergent d'un siècle sur la dernière colonne.

• Dichotomie. On pose $g(t)=S_{\exp }(t)-S_{\text{aff}}(t)$, qui est continue et strictement croissante sur $[125;140]$, avec $g(125)\approx 0,145<0,25$ et $g(140)\approx 0,429>0,25$ : le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique. La dichotomie l'encadre en huit étapes, puisque $\frac{15}{2^8}\approx 0,06<0,1$ :

$$t\in ]131,09;131,16[,$$

soit dès l'année 2031.

• Ce qu'il faut retenir. Deux modèles peuvent restituer les mêmes données à la troisième décimale et donner, dix ans plus tard, des réponses incompatibles. Le choix entre eux ne se fait pas sur $r$ : il se fait sur ce que l'on sait de la physique du glacier — l'exponentielle suppose que la perte est proportionnelle à la surface restante, l'affine qu'elle est constante. Aucune des deux n'est vraie près de la fin, quand il ne reste qu'un névé de quelques hectares.