Une perfusion continue

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 11 — Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable

Énoncé

Une perfusion continue.

Un patient reçoit un médicament en perfusion à débit constant. La concentration plasmatique, en mg/L, est modélisée par

$C (t) = 24 (1 - e^{- 0, 2 t}), t \geq 0 en heures.$

Étudier le sens de variation et la convexité de $C$ .
Vers quelle valeur la concentration tend-elle ? Comment s'appelle cette valeur ?
La zone thérapeutique commence à $20$ mg/L. Justifier qu'il existe un seul instant où elle est atteinte, puis le calculer exactement.
Le médecin voudrait atteindre $20$ mg/L en moins de six heures. Est-ce possible avec ce débit ?

Corrigé

Variations et convexité. $C$ est de la forme $24 - 24 e^{u}$ avec $u (t) = - 0, 2 t$ , donc

$C^{'} (t) = 4, 8 e^{- 0, 2 t} > 0 et C^{''} (t) = - 0, 96 e^{- 0, 2 t} < 0.$

$C$ est strictement croissante et concave : la concentration monte, de moins en moins vite.

Limite. Quand $t$ devient grand, $e^{- 0, 2 t}$ s'écrase vers $0$ et $C (t)$ tend vers $24$ mg/L. C'est la concentration à l'équilibre : entrée et élimination se compensent. Elle n'est jamais atteinte, seulement approchée.
Un seul instant. $C$ est continue et strictement croissante de $C (0) = 0$ vers $24$ ; comme $20$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique. On la calcule :

$24 (1 - e^{- 0, 2 t}) = 20 ⟺ e^{- 0, 2 t} = \frac{1}{6} ⟺ - 0, 2 t = - ln 6,$

donc $t = 5 ln 6 \approx 8, 96$ h.

Non. $C (6) = 24 (1 - e^{- 1, 2}) \approx 16, 77 < 20$ , et $C$ est croissante : le seuil ne peut pas être atteint plus tôt. Pour aller plus vite, il faudrait augmenter le débit — ce qui change la valeur d'équilibre $24$ — ou commencer par une dose de charge.

La concavité explique tout : la perfusion rapproche du plafond de plus en plus lentement, et vouloir gagner les dernières unités coûte un temps disproportionné.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.