Une perfusion continue — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 11)

Une perfusion continue

Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable · niveau 1 (application)

Énoncé

Une perfusion continue.

Un patient reçoit un médicament en perfusion à débit constant. La concentration plasmatique, en mg/L, est modélisée par

$C (t) = 24 (1 - e^{- 0, 2 t}), t \geq 0 en heures.$

Étudier le sens de variation et la convexité de $C$ .
Vers quelle valeur la concentration tend-elle ? Comment s'appelle cette valeur ?
La zone thérapeutique commence à $20$ mg/L. Justifier qu'il existe un seul instant où elle est atteinte, puis le calculer exactement.
Le médecin voudrait atteindre $20$ mg/L en moins de six heures. Est-ce possible avec ce débit ?

Corrigé

Variations et convexité. $C$ est de la forme $24 - 24 e^{u}$ avec $u (t) = - 0, 2 t$ , donc

$C^{'} (t) = 4, 8 e^{- 0, 2 t} > 0 et C^{''} (t) = - 0, 96 e^{- 0, 2 t} < 0.$

$C$ est strictement croissante et concave : la concentration monte, de moins en moins vite.

Limite. Quand $t$ devient grand, $e^{- 0, 2 t}$ s'écrase vers $0$ et $C (t)$ tend vers $24$ mg/L. C'est la concentration à l'équilibre : entrée et élimination se compensent. Elle n'est jamais atteinte, seulement approchée.
Un seul instant. $C$ est continue et strictement croissante de $C (0) = 0$ vers $24$ ; comme $20$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) donne une solution unique. On la calcule :

$24 (1 - e^{- 0, 2 t}) = 20 ⟺ e^{- 0, 2 t} = \frac{1}{6} ⟺ - 0, 2 t = - ln 6,$

donc $t = 5 ln 6 \approx 8, 96$ h.

Non. $C (6) = 24 (1 - e^{- 1, 2}) \approx 16, 77 < 20$ , et $C$ est croissante : le seuil ne peut pas être atteint plus tôt. Pour aller plus vite, il faudrait augmenter le débit — ce qui change la valeur d'équilibre $24$ — ou commencer par une dose de charge.

La concavité explique tout : la perfusion rapproche du plafond de plus en plus lentement, et vouloir gagner les dernières unités coûte un temps disproportionné.