La méthode d'Euler relit le chapitre 1

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 12 — Thème 2 — Modèles d'évolution

Énoncé

La méthode d'Euler relit le chapitre 1.

On approche par la méthode d'Euler de pas $h$ la solution de $y^{'} = a y + b$ , avec $a \neq = 0$ .

Écrire la relation de récurrence produite par Euler.
Reconnaître le type de suite, donner sa raison et son point fixe.
Comparer au passage exact du paragraphe 1.
Application à $y^{'} = - 0, 1 y + 50$ avec $y (0) = 0$ et $h = 2$ : donner $y_{n}$ sous forme explicite, calculer $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{3}$ et comparer aux valeurs exactes. Qui, d'Euler ou de la solution exacte, est au-dessus ? Pourquoi ?

Corrigé

Un pas d'Euler. $y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b)$ , soit

$y_{n + 1} = (1 + ah) y_{n} + hb .$

Le type. C'est une suite arithmético-géométrique de raison $A = 1 + ah$ et d'apport $B = hb$ . Son point fixe est

$\frac{B}{1 - A} = \frac{hb}{1 - ( 1 + ah )} = \frac{hb}{- ah} = - \frac{b}{a},$

qui est la solution constante de l'équation différentielle : Euler ne se trompe jamais d'équilibre.

La comparaison. Le passage exact donnait la raison $e^{ah}$ et l'apport $\frac{b}{a} (e^{ah} - 1)$ . Euler remplace $e^{ah}$ par $1 + ah$ , et $\frac{b}{a} (e^{ah} - 1)$ par $hb$ : dans les deux cas, l'exponentielle est remplacée par sa tangente en $0$ .
Application. Ici $A = 1 - 0, 1 \times 2 = 0, 8$ et $B = 100$ , le point fixe est $500$ . Avec $y_{0} = 0$ , la méthode du chapitre 1 donne

$y_{n} = 500 (1 - 0, 8^{n}), a ˋ comparer a ˋ y (2 n) = 500 (1 - e^{- 0, 2 n}) .$

$n Euler y_{n} exact y (2 n) 1100 90, 6 2180 164, 8 3244 225, 6$

Euler est au-dessus. La raison est $0, 8$ , alors que la raison exacte est $e^{- 0, 2} \approx 0, 8187$ : par convexité de l'exponentielle (chapitre 5), $1 + x \leq e^{x}$ , donc $0, 8 < e^{- 0, 2}$ . L'écart au plateau, qui vaut $500 \times 0, 8^{n}$ pour Euler et $500 e^{- 0, 2 n}$ en réalité, se referme trop vite.

À $t = 10$ heures ( $n = 5$ ), Euler annonce $336, 2$ mg pour $316, 1$ mg en réalité : $20$ mg d'écart, toujours dans le même sens.

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