Le pas critique

• La condition. La suite s'écrit $y_{n+1}=(1-0,1h)y_n+50h$, de point fixe $500$. Posons $v_n=y_n-500$ : alors $v_n=-500A^n$ avec $A=1-0,1h$, donc $|v_n|=500|A{|}^n$. La suite géométrique de raison positive $|A|$ tend vers $0$ si et seulement si $|A|<1$ (chapitre 1), donc

$$|1-0,1h|<1⟺0<0,1h<2⟺0<\mathbf{h}<20\text{ heures.}$$

• Les trois régimes.

• $0<h<10$ : $A\in ]0;1[$, la suite monte régulièrement vers $500$ ;
• $h=10$ : $A=0$, la suite atteint $500$ dès le premier pas — coïncidence arithmétique, pas précision ;
• $10<h<20$ : $A\in ]-1;0[$, la suite oscille de part et d'autre de $500$ en s'en rapprochant ; la vraie solution, elle, est monotone ;
• $h\ge 20$ : $|A|\ge 1$, la suite ne converge plus. Pour $h=20$ elle saute indéfiniment entre $0$ et $1000$.

• Le calcul pour $h=22$. $A=1-2,2=-1,2$ et $B=1100$ :

$$y_1=1100,y_2=-1,2\times 1100+1100=-220,y_3=1364,y_4=-536,8.$$

• Le verdict. Une concentration négative n'existe pas, et $1364$ mg est près du triple du plateau. L'algorithme n'a pourtant ni planté ni protesté : il a rendu des nombres. C'est précisément le danger. Le seul contrôle disponible, quand on ne connaît pas la solution exacte, est de diviser le pas jusqu'à ce que le résultat cesse de bouger.