Le thermomètre relevé toutes les cinq minutes — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 12)

Le thermomètre relevé toutes les cinq minutes

Thème 2 — Modèles d'évolution · niveau 2

Énoncé

Le thermomètre relevé toutes les cinq minutes.

Un bloc métallique sorti d'un four est posé dans une pièce à $20^{\circ}$ C. Un capteur enregistre sa température toutes les $5$ minutes ; le premier relevé donne $80^{\circ}$ C, le deuxième $68^{\circ}$ C. Le refroidissement suit la loi de Newton $T^{'} = - k (T - 20)$ .

Montrer que la suite $(T_{n} - 20)$ est géométrique et donner sa raison en fonction de $k$ .
En déduire $k$ , puis écrire l'équation différentielle sous la forme $y^{'} = a y + b$ et sa solution.
À quel instant la température passe-t-elle sous $30^{\circ}$ C ? Que « voit » le capteur ?
Au bout de combien de temps l'écart à la pièce est-il divisé par deux ?

Corrigé

La suite des relevés. La fonction $t \mapsto T (t) - 20$ vérifie $y^{'} = - k y$ , donc $T (t) = 20 + 60 e^{- k t}$ . Le capteur relève aux instants $5 n$ :

$T_{n} - 20 = 60 e^{- 5 k n} = 60 (e^{- 5 k})^{n},$

suite géométrique de raison $e^{- 5 k}$ .

Le coefficient. Les deux premiers relevés donnent $T_{0} - 20 = 60$ et $T_{1} - 20 = 48$ , donc la raison vaut $\frac{48}{60} = 0, 8$ et

$e^{- 5 k} = 0, 8 ⟹ k = \frac{ln 1 , 25}{5} \approx 0, 0446 par minute.$

L'équation s'écrit $T^{'} = - k T + 20 k$ , soit $T^{'} \approx - 0, 0446 T + 0, 893$ : sa solution constante est $20$ , la température de la pièce, et

$T (t) = 20 + 60 e^{- 0, 0446 t} .$

Le franchissement. $60 e^{- k t} = 10$ donne $k t = ln 6$ , donc

$t = \frac{5 ln 6}{ln 1 , 25} \approx 40, 1 minutes.$

Mais le capteur ne relève qu'aux multiples de $5$ : $T_{8} = 20 + 60 \times 0, 8^{8} \approx 30, 07$ (à $40$ min, encore au-dessus) et $T_{9} \approx 28, 05$ (à $45$ min). Le modèle discret ne peut donc dater le franchissement qu'« entre $40$ et $45$ minutes » : il n'est jamais plus précis que sa grille d'observation.

La demi-vie de l'écart. $0, 8^{n} = 0, 5$ donne $n = \frac{l n 2}{l n 1 , 25} \approx 3, 11$ , soit

$t = \frac{5 ln 2}{ln 1 , 25} \approx 15, 5 minutes,$

ce que le modèle continu retrouve directement par $\frac{l n 2}{k}$ . Les deux langages donnent le même nombre, parce qu'ici ils décrivent la même chose.