Problème — Le dioxyde de carbone d'une salle de classe

• Le modèle. Chaque heure, une fraction $\tau$ du volume d'air est remplacée par de l'air extérieur à $420$ ppm. L'excès $y=c-420$ diminue donc proportionnellement à lui-même : $y^{\prime }=-\tau y$, d'où $y(t)=(c_0-420)e^{-\tau t}$ (chapitre 6), c'est-à-dire le modèle annoncé.
• Le changement de variable. En prenant le logarithme,

$$z=\ln (c-420)=\ln (c_0-420)-\tau t:$$

$z$ est affine en $t$, de pente $-\tau$. On calcule :

$$\begin{array}{ccccccc}t\text{ (min)}& 0& 5& 10& 15& 20& 25\\ z=\ln (c-420)& 7,0901& 6,8926& 6,6946& 6,4831& 6,2953& 6,0822\end{array}$$

Le point moyen est $(12,5;6,5896)$. La droite des moindres carrés (chapitre 10) a pour pente $-0,0402$ et pour ordonnée à l'origine $7,0927$, avec un coefficient de corrélation $r\approx -0,9999$ : l'alignement est excellent, ce qui valide le modèle exponentiel.

• Les paramètres. La pente vaut $-\tau$ exprimé par minute, donc

$$\tau =0,0402\times 60\approx 2,41\text{ par heure},c_0-420=e^{7,0927}\approx 1203\text{ ppm.}$$

On retient le modèle arrondi $c(t)=420+1200e^{-2,4t}$, avec $t$ en heures.

• Descendre à 800 ppm. $1200e^{-2,4t}=380$ donne

$$t=\frac{1}{2,4}\ln \frac{1200}{380}\approx 0,479\text{ h,}$$

soit environ $29$ minutes de fenêtres ouvertes. C'est beaucoup plus qu'un intercours.

• La salle occupée. L'équilibre observé s'écrit $420+\frac{P}{{\tau }_0}=1620$, donc $P=0,5\times 1200=600$ ppm par heure. L'équation est

$$c^{\prime }=-0,5(c-420)+600=-0,5c+810,$$

de solution constante $1620$. En partant de $420$ ppm, $c(t)=1620-1200e^{-0,5t}$, et

$$c(t)=1000⟺1200e^{-0,5t}=620⟺t=2\ln \frac{1200}{620}\approx 1,32\text{ h,}$$

soit 79 minutes : le seuil est franchi avant la fin du deuxième cours.

• La stratégie discrète. Notons $e_n$ l'excès $c-420$ au début de la $n^{\text{e}}$ heure. Deux phases se succèdent.

• $50$ minutes fenêtres fermées, salle occupée : l'excès tend vers $1200$ avec le coefficient $0,5$, donc il devient $1200+(e_n-1200)E_1$ avec $E_1=e^{-0,5\times \frac{5}{6}}\approx 0,6592$.
• $10$ minutes fenêtres ouvertes, salle vide : l'excès est multiplié par $E_2=e^{-2,4\times \frac{1}{6}}=e^{-0,4}\approx 0,6703$.

En composant,

$$e_{n+1}=E_2(1200+(e_n-1200)E_1)=E_1{E}_2{e}_n+1200E_2(1-E_1),$$

soit $e_{n+1}\approx 0,4419e_n+274,1$ : une suite arithmético-géométrique, de point fixe

$$\frac{274,1}{1-0,4419}\approx 491\text{ ppm.}$$

En régime stationnaire, la teneur vaut donc $420+491\approx 911$ ppm au début de chaque heure, et, juste avant l'aération, $420+1200+(491-1200)\times 0,6592\approx 1153$ ppm. On repasse au-dessus de $1000$ ppm à chaque fin de cours.

• La stratégie continue. Avec un renouvellement permanent $\tau$ et la salle occupée, l'équilibre est $420+\frac{600}{\tau }$, et

$$420+\frac{600}{\tau }\le 1000⟺\tau \ge \frac{600}{580}\approx 1,03\text{ par heure.}$$

Avec $\tau =1,5$, l'équilibre vaut $420+400=820$ ppm, atteint à $90\%$ au bout de $\frac{\ln 10}{1,5}\approx 1,54$ h.

• Conclusion. Aérer dix minutes par heure ne suffit pas : la stratégie discrète installe un régime qui oscille entre $911$ et $1153$ ppm, au-dessus du seuil une partie du temps. Une ventilation continue à $1,5$ renouvellement par heure tient $820$ ppm en permanence. C'est le même contraste qu'entre les injections et la perfusion : le discret produit une amplitude, le continu la supprime.

Tout le calcul se refait en quelques lignes, et l'on en profite pour valider la récurrence de la question 6 par une méthode d'Euler à pas d'une minute.

from math import log, exp

# --- Partie A : ajustement affine apres changement de variable
t = [0, 5, 10, 15, 20, 25]                       # minutes
c = [1620, 1405, 1228, 1074, 962, 858]           # ppm
z = [log(v - 420) for v in c]
n = len(t)
tm, zm = sum(t) / n, sum(z) / n
pente = sum((x - tm) * (y - zm) for x, y in zip(t, z)) / sum((x - tm) ** 2 for x in t)
print(round(pente, 4), round(zm - pente * tm, 4))   # -0.0402 7.0927
print(round(-60 * pente, 2), round(exp(zm - pente * tm)))  # 2.41 /h   1203 ppm

# --- Partie B : Euler minute par minute sur six heures de cours
conc = 420.0
for minute in range(360):
    if minute % 60 < 50:
        tau, prod = 0.5, 600.0        # fenetres fermees, salle occupee
    else:
        tau, prod = 2.4, 0.0          # aeration, salle vide
    conc = conc + (1 / 60) * (-tau * (conc - 420) + prod)
print(round(conc, 1))     # 901.5  (le calcul exact donne 911,1)