Problème — Une épidémie, des générations aux jours

• Le modèle par générations. En notant $u_n$ le nombre de cas de la génération $n$, $u_{n+1}=1,6u_n$ avec $u_0=25$, donc $u_n=25\times 1,6^n$. À la cinquième génération,

$$u_5=25\times 1,6^5=25\times 10,48576\approx 262\text{ cas,}$$

au $25^{\text{e}}$ jour — car une génération dure $5$ jours.

• Le modèle continu. On veut $y(5n)=u_n$, c'est-à-dire $e^{5\lambda }=1,6$ (proposition du paragraphe 1), d'où

$$\lambda =\frac{\ln 1,6}{5}\approx 0,0940\text{ par jour},y(t)=25e^{0,0940t}.$$

Le temps de doublement est $\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{5\ln 2}{\ln 1,6}\approx 7,37$ jours.

• Cent cas. Modèle discret : $25\times 1,6^n\ge 100$ équivaut à $1,6^n\ge 4$, soit $n\ge \frac{\ln 4}{\ln 1,6}\approx 2,95$, donc $n=3$ : la troisième génération, au $15^{\text{e}}$ jour, avec $102,4$ cas. Modèle continu : $t=\frac{\ln 4}{\lambda }\approx 14,75$ jours.

Les deux disent la même chose — le discret ne sait simplement pas parler des jours intermédiaires.

• Le soixantième jour.

$$y(60)=25e^{0,0940\times 60}=25e^{5,64}\approx 7030\text{ cas.}$$

C'est plus que la population réceptive. Le modèle exponentiel n'est donc plus valable bien avant cette date : il suppose une réserve inépuisable de personnes à contaminer, ce qui n'est vrai qu'au tout début.

• Le modèle logistique, par Euler. Cette équation n'est pas au programme et sa résolution n'est pas exigible ; mais la méthode d'Euler ne demande jamais de savoir résoudre. En posant $f(t,y)=0,0940y\left(1-\frac{y}{6000}\right)$ et en partant de $y_0=25$ :

$$\begin{array}{cccc}\text{pas }h& 5\text{ jours}& 1\text{ jour}& 0,25\text{ jour}\\ \text{valeur au }120^{\text{e}}\text{ jour}& 5986& 5982& 5982\end{array}$$

Le résultat cesse de bouger : environ $5982$ cas, soit presque toute la population réceptive. On notera au passage que le pas $h=5$ est ici sans danger, puisque la condition de stabilité du paragraphe 3 demande $h<\frac{2}{\lambda }\approx 21$ jours.

• Le pic des nouveaux cas. Le nombre de nouveaux cas par jour est la dérivée $y^{\prime }$, c'est-à-dire

$$y^{\prime }=\lambda y\left(1-\frac{y}{6000}\right).$$

Vu comme fonction de $y$, c'est un trinôme de racines $0$ et $6000$, maximal au milieu, en $y=3000$. La vitesse est donc maximale quand la moitié de la population réceptive a été touchée, et elle vaut alors

$$\lambda \times 3000\times \frac{1}{2}=\frac{\lambda \times 6000}{4}\approx 141\text{ cas par jour.}$$

Le calcul (ou la lecture de la figure) situe cet instant vers le $58^{\text{e}}$ jour. C'est le point d'inflexion de la courbe (chapitre 5) : le moment où l'épidémie cesse d'accélérer, sans cesser de croître.