Une décroissance, deux écritures — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 12)

Une décroissance, deux écritures

Thème 2 — Modèles d'évolution · niveau 1 (application)

Énoncé

Une décroissance, deux écritures.

L'iode 131, employé en scintigraphie, a une demi-vie de $8$ jours. Un échantillon a une activité initiale de $400$ MBq.

Écrire le modèle continu $A^{'} = - k A$ et déterminer $k$ .
Un technicien relève l'activité chaque matin. Montrer que la suite $(A_{n})$ des relevés est géométrique, préciser sa raison et le pourcentage perdu chaque jour.
Les deux modèles peuvent-ils se contredire ?
Un collègue écrit : « on perd $8, 66 %$ par jour, puisque $k \approx 0, 0866$ ». Comparer les deux prévisions au bout de $30$ jours.
L'échantillon peut être évacué en dessous de $5$ MBq. Quand ?

Corrigé

Le coefficient. La demi-vie s'écrit $A (8) = \frac{1}{2} A (0)$ , soit $e^{- 8 k} = \frac{1}{2}$ , donc $8 k = ln 2$ et

$k = \frac{ln 2}{8} \approx 0, 0866 par jour, A (t) = 400 e^{- k t} .$

Les relevés. $A_{n} = A (n) = 400 e^{- k n} = 400 (e^{- k})^{n}$ : la suite est géométrique de raison

$q = e^{- k} = e^{- \frac{l n 2}{8}} = 2^{- 1/8} \approx 0, 9170.$

La perte quotidienne est $1 - q \approx 0, 0830$ , soit $8, 30 %$ — et non $8, 66 %$ .

Non, et c'est le point : par construction $A_{n} = A (n)$ . La suite est la fonction, lue aux instants entiers. On vérifie sur les demi-vies : $A (8) = 200$ , $A (16) = 100$ , $A (24) = 50$ , $A (32) = 25$ .
Les deux prévisions. Le modèle correct donne

$A (30) = 400 \times 2^{- 30/8} = 400 \times 2^{- 3, 75} \approx 29, 7 MBq,$

tandis que l'écriture fautive $u_{n + 1} = (1 - 0, 0866) u_{n}$ donne $400 \times 0, 913 4^{30} \approx 26, 4$ MBq. L'écart est de $11, 3 %$ : on croirait l'échantillon plus froid qu'il ne l'est.

Le seuil. $400 e^{- k t} = 5$ donne $e^{- k t} = \frac{1}{80}$ , donc $k t = ln 80$ et

$t = \frac{8 ln 80}{ln 2} \approx 50, 6 jours.$

Les relevés quotidiens donnent $A_{50} \approx 5, 26$ et $A_{51} \approx 4, 82$ : le cinquante-et-unième relevé est le premier à passer sous $5$ MBq.

Le taux instantané $k$ et la perte quotidienne $1 - q$ ne sont jamais le même nombre : ils sont liés par $q = e^{- k}$ .