L'algorithme de Briggs

• Trois étapes à la main. On sait $10^0=1<2$ et $10^1=10>2$.

• Milieu des exposants $t=0,5$ ; valeur $\sqrt{1\times 10}=3,1623>2$ : on garde $[0;0,5]$.
• $t=0,25$ ; valeur $\sqrt{1\times 3,1623}=1,7783<2$ : on garde $[0,25;0,5]$.
• $t=0,375$ ; valeur $\sqrt{1,7783\times 3,1623}=2,3714>2$ : on garde $[0,25;0,375]$.

Trois racines carrées, et déjà $0,25\le \log 2\le 0,375$.

• Le programme. Il est donné au cours ; après $20$ étapes il renvoie

$$0,30102921\le \log 2\le 0,30103016,$$

ce qui encadre bien $\log 2=0,301029995\dots$

• Nombre d'étapes. L'intervalle de départ a pour longueur $1$ et elle est divisée par $2$ à chaque étape : après $n$ étapes elle vaut $2^{-n}$. Il faut $2^{-n}\le 10^{-4}$, donc $2^n\ge 10000$. Or $2^{13}=8192$ et $2^{14}=16384$ : il faut $14$ étapes, c'est-à-dire quatorze racines carrées. Pour quatorze décimales, il en faudrait $47$.
• L'autre procédé. Le tableau du cours, mené sur $10$ au lieu de $2$, montre que $2^n\left(x^{1/2^n}-1\right)$ se stabilise sur $\ln x$. Pour $x=2$ :

$$u_{10}\approx 0,693382,u_{20}\approx 0,69314741,\text{alors que }\ln 2=0,69314718\dots$$

On obtient ensuite le logarithme décimal en multipliant par le module :

$$\log 2\approx 0,6931474\times 0,4342944819\approx 0,3010301.$$

Le second procédé converge plus vite, mais il exige de connaître le module — que Briggs avait justement obtenu par cinquante-quatre racines carrées de $10$.