L'échelle logarithmique et la règle à calcul — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 13)

L'échelle logarithmique et la règle à calcul

Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme · niveau 1 (application)

Énoncé

L'échelle logarithmique et la règle à calcul.

Une règle à calcul porte une décade sur $25$ cm : le nombre $v$ est placé à l'abscisse $25 lo g v$ , comptée depuis le $1$ .

Calculer les abscisses de $2$ , $3$ , $5$ et $7$ , au dixième de millimètre.
Vérifier que les distances de $1$ à $2$ , de $2$ à $4$ et de $4$ à $8$ sont égales. Interpréter.
Vérifier que la position de $6$ est la somme des positions de $2$ et de $3$ . Expliquer comment l'instrument s'en sert.
On lit une graduation à un demi-millimètre près. Quelle précision relative obtient-on ? Combien de chiffres significatifs ?
Pourquoi ne peut-on pas additionner avec une règle à calcul ?

Corrigé

Quatre abscisses.

$25 lo g 2 = 7, 526 cm, 25 lo g 3 = 11, 928 cm, 25 lo g 5 = 17, 474 cm, 25 lo g 7 = 21, 127 cm .$

Les graduations se resserrent : de $1$ à $2$ il y a $7, 5$ cm, de $6$ à $7$ il n'y en a plus que $1, 7$ .

Trois fois la même distance. Chacune vaut $25 (lo g 2 - lo g 1) = 25 (lo g 4 - lo g 2) = 25 (lo g 8 - lo g 4) = 25 lo g 2 = 7, 526$ cm, car $lo g$ transforme le rapport $2$ en la différence $lo g 2$ . Doubler, c'est avancer d'une longueur fixe : c'est la propriété qui rend l'échelle utilisable.
Le principe de l'instrument.

$7, 526 + 11, 928 = 19, 454 = 25 lo g 6.$

On amène donc l'origine de la réglette (son $1$ ) en face du $2$ de la règle fixe : toutes les positions de la réglette sont décalées de la longueur $lo g 2$ . En face du $3$ de la réglette, on lit sur la règle fixe le nombre placé à $lo g 2 + lo g 3 = lo g 6$ , c'est-à-dire $6$ .

Précision. Un demi-millimètre sur $250$ mm représente une erreur de $\frac{0 , 5}{250} = 0, 002$ sur $lo g v$ rapporté à la décade. Le nombre est donc multiplié par $1 0^{0, 002}$ , soit une erreur relative de

$1 0^{0, 002} - 1 \approx 0, 0046,$

environ $0, 5 %$ : trois chiffres significatifs. Pour davantage, il fallait la table.

L'addition, impossible. L'instrument additionne des longueurs, donc des logarithmes : il multiplie les nombres. Une addition de nombres, $a + b$ , ne se traduit par aucune relation simple entre $lo g a$ , $lo g b$ et $lo g (a + b)$ — il n'y a rien à faire glisser.