Le logarithme de Napier n'est pas le nôtre

• Deux valeurs. $L\left(10^7\right)=10^7\ln 1=0$ : le logarithme du « sinus total » est nul. Et

$$L\left(5\times 10^6\right)=10^7\ln \left(\frac{10^7}{5\times 10^6}\right)=10^7\ln 2\approx 6931471,81.$$

• Variation. On écrit $L(y)=10^7(\ln 10^7-\ln y)$, donc

$$L^{\prime }(y)=-\frac{10^7}{y}<0\text{sur }]0;10^7].$$

$L$ est strictement décroissante : plus $y$ est petit, plus son logarithme de Napier est grand. C'est l'inverse de notre convention.

• À rapports égaux, différences égales. Par l'équation fonctionnelle du chapitre 3,

$$L(a)-L(b)=10^7\left[\ln \frac{10^7}{a}-\ln \frac{10^7}{b}\right]=10^7\ln \left(\frac{10^7}{a}\times \frac{b}{10^7}\right)=10^7\ln \left(\frac{b}{a}\right).$$

Cette expression ne dépend que du rapport $\frac{b}{a}$. Numériquement, les deux couples ont le même rapport $\frac{5}{9}$, et

$$-10^7\ln \left(\frac{9}{5}\right)\approx -5877866,65$$

dans les deux cas.

• L'équation fonctionnelle abîmée. On a

$$L(a)+L(b)=10^7\left[\ln \frac{10^7}{a}+\ln \frac{10^7}{b}\right]=10^7\ln \left(\frac{10^7\times 10^7}{ab}\right)=10^7\ln \left(\frac{10^7}{ab/10^7}\right)=L\left(\frac{ab}{10^7}\right).$$

Vérification : $\frac{ab}{10^7}=\frac{8\times 10^6\times 5\times 10^6}{10^7}=4\times 10^6$, et

$$L\left(8\times 10^6\right)\approx 2231435,51,L\left(5\times 10^6\right)\approx 6931471,81,$$

dont la somme $9162907,32$ est bien $L\left(4\times 10^6\right)$.

Le facteur $10^7$ parasite est précisément ce que Briggs supprimera en imposant $\log 1=0$.