Problème — De la table à l'hyperbole

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 13 — Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

Énoncé

Problème — De la table à l'hyperbole.

On pose, pour $x > 0$ ,

$A (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t},$

et l'on admet, comme au cours, le théorème de Grégoire de Saint-Vincent : $A (a x) = A (a) + A (x)$ .

Justifier que $A (1) = 0$ et que $A$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .
Écrire un programme calculant $A (b)$ par la méthode des rectangles, et vérifier numériquement que les bandes $[1; 2]$ , $[2; 4]$ , $[4; 8]$ et $[3; 6]$ ont la même aire.
Encadrer par balayage au pas $0, 01$ l'abscisse où l'aire vaut $1$ . Que reconnaît-on ?
Montrer que la fonction $x \mapsto \frac{A ( x )}{A ( 10 )}$ transforme les produits en sommes et vaut $1$ en $10$ . Qu'est-ce donc que cette fonction ? Calculer $\frac{1}{A ( 10 )}$ et commenter.
Fabriquer, à partir des seules aires $A (2)$ , $A (3)$ et $A (7)$ , une table des logarithmes décimaux de $2$ à $10$ . Comparer aux valeurs exactes.

Corrigé

Les deux premières propriétés. $A (1) = \int_{1}^{1} \frac{d t}{t} = 0$ : une aire de largeur nulle. D'après le théorème fondamental (chapitre 7), $A$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et $A^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ : $A$ est strictement croissante.

Les aires, par les rectangles. La fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est décroissante : les rectangles de gauche encadrent par au-dessus, ceux de droite par en dessous.


from math import log

def aire(b, n=1000):
    # Encadrement de l'aire sous 1/t entre 1 et b (b > 1), n rectangles.
    h = (b - 1) / n
    bas = sum(1 / (1 + (k + 1) * h) for k in range(n)) * h
    haut = sum(1 / (1 + k * h) for k in range(n)) * h
    return bas, haut, (bas + haut) / 2

def bande(a, b, n=1000):
    # Aire entre a et b : difference de deux aires depuis 1.
    return aire(b, n)[2] - aire(a, n)[2]

for (a, b) in [(1, 2), (2, 4), (4, 8), (3, 6)]:
    print(a, b, round(bande(a, b), 6))
print("ln 2 =", round(log(2), 6))

```text

1 2 0.693147 2 4 0.693148 4 8 0.69315 3 6 0.693149 ln 2 = 0.693147 ``` Quatre bandes de longueurs $1$ , $2$ , $4$ et $3$ , mais de même rapport $2$ entre leurs bornes : même aire. C'est bien Saint-Vincent.

L'abscisse où l'aire vaut $1$ . Le balayage au pas $0, 01$ donne

$A (2, 71) \approx 0, 9969 < 1 et A (2, 72) \approx 1, 0006 \geq 1,$

donc l'abscisse cherchée est dans $] 2, 71; 2, 72 [$ . Comme $A$ est continue et strictement croissante, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) garantit qu'il n'y en a qu'une. C'est le nombre $e = 2, 7182818 \dots$

La fonction cherchée est $lo g$ . Posons $f (x) = \frac{A ( x )}{A ( 10 )}$ . Pour tous $a > 0$ et $x > 0$ ,

$f (a x) = \frac{A ( a x )}{A ( 10 )} = \frac{A ( a ) + A ( x )}{A ( 10 )} = f (a) + f (x),$

et $f (10) = 1$ , $f (1) = 0$ . Elle transforme les produits en sommes et vaut $1$ en $10$ : c'est le logarithme décimal des tables, $f = lo g$ . Numériquement,

$A (10) \approx 2, 30259 et \frac{1}{A ( 10 )} \approx 0, 434 29.$

C'est exactement le module de Briggs, obtenu au cours par cinquante-quatre extractions de racines carrées. Deux méthodes qui n'ont rien en commun — des aires d'un côté, des racines carrées de l'autre — produisent le même nombre. C'est le signe qu'il s'agissait du même objet depuis le début.

Une table faite maison. Trois aires suffisent, car $4$ , $5$ , $6$ , $8$ et $9$ se déduisent de $2$ , $3$ et $10$ par l'équation fonctionnelle du chapitre 3 :

$lo g 4 = 2 lo g 2, lo g 5 = 1 - lo g 2, lo g 6 = lo g 2 + lo g 3, lo g 8 = 3 lo g 2, lo g 9 = 2 lo g 3.$

Avec $A (2) \approx 0, 693147$ , $A (3) \approx 1, 098613$ , $A (7) \approx 1, 945913$ et $A (10) \approx 2, 302592$ :

$N 23456789 table reconstruite 0, 301029 0, 477120 0, 602058 0, 698971 0, 778149 0, 845097 0, 903087 0, 954240 valeur exacte 0, 301030 0, 477121 0, 602060 0, 698970 0, 778151 0, 845098 0, 903090 0, 954243$

Cinq décimales justes avec mille rectangles et trois intégrales. Briggs, lui, en a obtenu quatorze — à la main.

Le logarithme des calculateurs et le logarithme des géomètres sont le même objet, et rien dans les deux histoires ne le laissait prévoir. C'est le point culminant de ce thème.

iRemarque

Une conséquence pratique : les aires donnent tout de suite le logarithme népérien, et il faut diviser par $A (10)$ pour obtenir celui des tables. C'est l'inverse du chemin historique, où l'on partait du logarithme décimal. Le mot « naturel », employé par Mercator en $1668$ , désigne précisément ce logarithme-là : celui que la géométrie donne sans qu'on ait à choisir de base.

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