Problème — Kepler, ou ce qui survit aux tables

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 13 — Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

Énoncé

Problème — Kepler, ou ce qui survit aux tables.

Voici, pour les six planètes connues de Kepler, le demi-grand axe $a$ de l'orbite (en unités astronomiques, l'unité étant la distance Terre--Soleil) et la période de révolution $T$ (en années).

$Plan e ˋ te Mercure V e ˊ nus Terre Mars Jupiter Saturne a (ua) 0, 387 0, 723 1, 000 1, 524 5, 203 9, 537 T (ans) 0, 241 0, 615 1, 000 1, 881 11, 862 29, 457 x = lo g a - 0, 4123 - 0, 1409 0, 0000 0, 1830 0, 7163 0, 9794 y = lo g T - 0, 6180 - 0, 2111 0, 0000 0, 2744 1, 0742 1, 4692$

Pourquoi un ajustement affine de $T$ en fonction de $a$ serait-il absurde ?
Calculer $x ˉ$ et $y ˉ$ , puis la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ et le coefficient de corrélation.
En déduire une relation entre $T$ et $a$ . Quel nom porte-t-elle ?
Uranus, découverte en $1781$ , a pour demi-grand axe $19, 191$ ua. Prédire sa période et comparer à la valeur observée, $84, 017$ ans.
Pourquoi la pente d'une droite tracée en logarithmes est-elle si précieuse ?

Corrigé

Un nuage courbé. Les couples $(a; T)$ ne sont pas alignés : de la Terre à Saturne, $a$ est multiplié par $9, 5$ et $T$ par $29, 5$ . La croissance est plus que proportionnelle, le nuage est incurvé, et une droite le trahirait (chapitre 10). Il faut d'abord redresser, par un changement de variable.

L'ajustement en logarithmes. Les moyennes valent

$x ˉ = \frac{1 , 3255}{6} \approx 0, 22092, y ˉ = \frac{1 , 9887}{6} \approx 0, 331 45.$

Avec les formules du chapitre 10,

$cov (x, y) \approx 0, 35063, V (x) \approx 0, 23380,$

d'où la pente et l'ordonnée à l'origine

$m = \frac{cov ( x , y )}{V ( x )} \approx 1, 4997, p = y ˉ - m x ˉ \approx 0, 0001.$

Le coefficient de corrélation vaut $r \approx 0, 99999997$ : l'alignement est quasi parfait.

La troisième loi. La droite est donc, à la précision des données,

$y = \frac{3}{2} x c’est- a ˋ -dire lo g T = \frac{3}{2} lo g a = lo g (a^{3/2}),$

d'où $T = a^{3/2}$ , soit en élevant au carré

$T^{2} = a^{3} .$

C'est la troisième loi de Kepler, publiée en $1619$ . Contrôle direct : les six rapports $\frac{T ^{2}}{a ^{3}}$ valent $1, 002$ ; $1, 001$ ; $1, 000$ ; $0, 9996$ ; $0, 9990$ ; $1, 0003$ .

Uranus. $lo g 19, 191 = 1, 2831$ , donc

$lo g T = 1, 4997 \times 1, 2831 + 0, 0001 = 1, 9244, T = 1 0^{1, 9244} \approx 84, 0 ans.$

La valeur observée est $84, 017$ ans : l'erreur relative est inférieure à $1 0^{- 4}$ , sur une planète que Kepler n'a jamais vue et qui est deux fois plus lointaine que la plus éloignée de ses six. C'est une extrapolation, donc à manier avec prudence (chapitre 10) — mais ici la loi physique la justifie.

Ce que dit une pente. Si deux grandeurs sont liées par une loi puissance $T = k a^{α}$ , alors $lo g T = lo g k + α lo g a$ : le nuage en logarithmes est une droite, dont la pente est l'exposant et l'ordonnée à l'origine le logarithme du coefficient. Lire un exposant devient donc aussi facile que lire une pente. C'est exactement ce que fait l'allométrie en biologie, la loi de Zipf en linguistique, ou l'estimation d'un rendement d'échelle en économie.

Les tables ont disparu ; l'échelle logarithmique, elle, est devenue un instrument d'analyse. C'est ce qui reste de $1614$ .

iRemarque

On ignore quel rôle exact les logarithmes ont joué dans la découverte de cette loi par Kepler, en $1618$ . Ce qui est certain, c'est qu'il s'en est servi abondamment ensuite : il publie sa propre table en $1624$ , et achève grâce à elle les Tables rudolphines en $1627$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.