Problème — Napier, d'une suite géométrique à une fonction

• Une suite géométrique. La relation de récurrence se factorise :

$$y_{n+1}=y_n\left(1-\frac{1}{10^7}\right)=q{y}_n,q=1-10^{-7}=0,9999999.$$

C'est une suite géométrique de premier terme $10^7$ et de raison $q$, donc $y_n=10^7{q}^n$. Comme $0<q<1$, la suite est strictement décroissante et tend vers $0$ (chapitre 1) : le point n'atteint jamais le but, mais s'en approche autant qu'on veut.

• La règle de la table. Le calcul est immédiat :

$$\frac{y_m{y}_n}{10^7}=\frac{10^7{q}^m\times 10^7{q}^n}{10^7}=10^7{q}^{m+n}=y_{m+n}.$$

Autrement dit : pour multiplier deux nombres de la table, on additionne leurs numéros de ligne, et l'on trouve à la ligne obtenue le produit divisé par $10^7$. C'est la version discrète de la règle $L\left(\frac{ab}{10^7}\right)=L(a)+L(b)$ établie plus haut pour le logarithme de Napier, et le facteur $10^7$ y apparaît naturellement : il vient du fait que la table part de $10^7$ et non de $1$.

• Diviser la distance par deux. On cherche $n$ tel que $q^n=\frac{1}{2}$, c'est-à-dire, en prenant le logarithme népérien (chapitre 3) :

$$n\ln q=-\ln 2,\text{donc}n=\frac{\ln 2}{-\ln q}.$$

Numériquement $-\ln q=1,00000005\times 10^{-7}$, d'où

$$n=\frac{0,69314718}{1,00000005\times 10^{-7}}\approx 6931471,46.$$

Il faut donc $6931471$ étapes. Or $10^7\ln 2\approx 6931471,81$ : les deux nombres coïncident sur huit chiffres. La table discrète de Napier et la fonction $L$ du cours donnent la même chose.

• Après dix millions d'étapes.

$$y_{10^7}=10^7{\left(1-10^{-7}\right)}^{10^7}\approx 10^7\times 0,36787942=3678794,23.$$

On reconnaît $\frac{1}{e}=0,36787944$, donc $y_{10^7}\approx \frac{10^7}{e}=3678794,41$. Le nombre $e$ était donc déjà dans la table de Napier, plus d'un siècle avant qu'Euler ne lui donne son nom — caché à la dix-millionième ligne.

• De la suite à la fonction. De $y_n=10^7{q}^n$ on tire $q^n=\frac{y_n}{10^7}$, puis

$$n\ln q=\ln \left(\frac{y_n}{10^7}\right)⟹n=\frac{1}{-\ln q}\ln \left(\frac{10^7}{y_n}\right).$$

Comme $\frac{1}{-\ln q}=9999999,5\dots \approx 10^7$, on obtient

$$n\approx 10^7\ln \left(\frac{10^7}{y_n}\right),$$

qui est exactement la formule $L(y)$ admise dans le cours. L'écart relatif est de $5\times 10^{-8}$ : invisible sur les sept chiffres d'une table.

• Ce que Napier ne pouvait pas écrire. Ni la notation $\ln$, ni le nombre $e$, ni même la notion de base d'un logarithme n'existent en $1614$ : le nombre $e$ ne sera nommé qu'au XVIII^e siècle, par Euler. Napier ne dispose que d'une définition cinématique et d'une table calculée à la main. La formule de la question 5 est une traduction moderne de son travail, pas sa méthode.