Se servir d'une table

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 13 — Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

Énoncé

Se servir d'une table.

On dispose des mantisses suivantes, à quatre décimales.

$N 1, 30 1, 58 1, 94 1, 95 lo g N 0, 1139 0, 1987 0, 2878 0, 2900 N 2, 36 2, 37 2, 197 lo g N 0, 3729 0, 3747 0, 3418 N 3, 74 3, 75 4, 587 lo g N 0, 5729 0, 5740 0, 6615$

Calculer $2, 37 \times 15, 8$ .
Calculer $4587 \div 23, 6$ .
Calculer $3 2, 197$ .
Une table à quatre décimales donne le logarithme à $5 \times 1 0^{- 5}$ près. Combien de chiffres significatifs peut-on espérer sur le résultat ?

Corrigé

Un produit devient une somme.

$lo g 2, 37 = 0, 3747, lo g 15, 8 = 1 + 0, 1987 = 1, 1987,$

$lo g (2, 37 \times 15, 8) = 0, 3747 + 1, 1987 = 1, 5734.$

Caractéristique $1$ , mantisse $0, 5734$ . On relit la table à l'envers : $0, 5729 < 0, 5734 < 0, 5740$ , et $\frac{0 , 5734 - 0 , 5729}{0 , 5740 - 0 , 5729} \approx 0, 45$ , d'où $N \approx 3, 745$ . Le résultat est $37, 45$ (valeur exacte $37, 446$ ).

Un quotient devient une différence.

$lo g 4587 = 3, 6615, lo g 23, 6 = 1, 3729, diff e ˊ rence = 2, 2886.$

Mantisse $0, 2886$ : entre $0, 2878$ et $0, 2900$ , à $\frac{8}{22} \approx 0, 36$ du bas, donc $N \approx 1, 944$ . Le quotient vaut $194, 4$ (valeur exacte $194, 364$ ).

Une racine devient une division.

$lo g 3 2, 197 = \frac{lo g 2 , 197}{3} = \frac{0 , 3418}{3} \approx 0, 1139.$

La table donne directement $N = 1, 30$ , et l'on vérifie $1, 3^{3} = 2, 197$ : le résultat est exact. C'est ici que le logarithme est le plus spectaculaire — une racine cubique obtenue par une division par $3$ .

Précision. Si le logarithme est faux de $h = 5 \times 1 0^{- 5}$ , le nombre est multiplié par $1 0^{h}$ , et

$1 0^{0, 00005} - 1 \approx 1, 2 \times 1 0^{- 4} .$

On ne peut donc garantir que quatre chiffres significatifs : c'est bien ce qu'on observe aux questions 1 et 2, où le quatrième chiffre est déjà douteux.

!Attention

L'interpolation des questions 1 et 2 suppose $lo g$ affine entre deux lignes. Comme $lo g$ est concave (chapitre 5), la corde est en dessous de la courbe : on sous-estime systématiquement. Le biais est ici de l'ordre de $2 \times 1 0^{- 7}$ , donc noyé dans l'arrondi de la table — mais il ne change jamais de signe, et dans une chaîne de cinquante calculs il s'accumule au lieu de se compenser.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.