Ce que coûte une décimale

• Programme et résultats.

from math import log
from random import random, seed

f = lambda x: 1 / x

def rectangles_gauche(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + k * h) for k in range(n))

def trapezes(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * (sum(f(a + k * h) for k in range(n + 1)) - (f(a) + f(b)) / 2)

def monte_carlo(n):
    """Le rectangle [1;2] x [0;1] a pour aire 1 : la frequence EST l'estimation."""
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = 1 + random()
        y = random()
        if y <= f(x):
            dedans = dedans + 1
    return dedans / n

for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    seed(2026)
    print(n, round(rectangles_gauche(1, 2, n), 6),
             round(trapezes(1, 2, n), 6), round(monte_carlo(n), 4))

```text

10 0.718771 0.693771 0.6 100 0.695653 0.693153 0.67 1000 0.693397 0.693147 0.703 10000 0.693172 0.693147 0.6966 ```

$$\begin{array}{cccc}n& \text{rectangles aˋ gauche}& \text{trapeˋzes}& \text{Monte-Carlo}\\ 10& 0,025624& 0,000624& 0,0931\\ 100& 0,002506& 0,00000625& 0,0231\\ 1000& 0,000250& 0,0000000625& 0,0099\\ 10000& 0,000025& 0,000000000625& 0,0035\end{array}$$

(erreurs en valeur absolue)

• Trois lois.

• Rectangles : l'erreur est divisée par $10$ quand $n$ est multiplié par $10$. Elle est proportionnelle à $\frac{1}{n}$ — ce que confirme la formule exacte de l'écart entre les sommes de gauche et de droite, $h(f(1)-f(2))=\frac{1}{2n}$.
• Trapèzes : l'erreur est divisée par $100$ ; elle est proportionnelle à $\frac{1}{n^2}$.
• Monte-Carlo : l'erreur ne décroît pas régulièrement — elle fluctue, puisqu'elle dépend du tirage. Ce qui décroît, c'est son écart type, $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ avec $p=\ln 2$, soit $0,046$ pour $n=100$, $0,0046$ pour $n=10000$ : proportionnel à $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

• Le prix de six décimales (erreur inférieure à $5\cdot 10^{-7}$) :

• trapèzes : $\frac{0,0624}{n^2}<5\cdot 10^{-7}$ donne $n\ge 354$ ; le calcul confirme $n=354$ ;
• rectangles : $\frac{0,25}{n}<5\cdot 10^{-7}$ donne $n\ge 500000$, soit $1400$ fois plus ;
• Monte-Carlo : $\frac{0,461}{\sqrt{n}}<5\cdot 10^{-7}$ donne $n\ge 8,5\cdot 10^{11}$. Autrement dit : jamais.

Trois cent cinquante-quatre trapèzes contre mille milliards de tirages au sort : voilà pourquoi on n'emploie Monte-Carlo que là où les deux autres méthodes ne s'appliquent pas — domaines compliqués, dimensions élevées, contours mesurés et non calculés, comme l'étang du début de ce thème.