Du lac à son volume

• Le volume comme cumul d'aires. Découpons le lac par des plans horizontaux. La tranche comprise entre les profondeurs $z$ et $z+h$ est presque un cylindre de base $A(z)$ et de hauteur $h$ : son volume vaut environ $A(z)h$. En additionnant toutes les tranches et en faisant tendre $h$ vers $0$, on obtient l'aire sous la courbe de $A$, c'est-à-dire ${\int }_0^{5}A(z)\mathrm{d}z$. C'est exactement le raisonnement du chapitre 7 sur le débit et le volume : chaque fois qu'une grandeur s'accumule, elle est une aire.
• Trapèzes, pas $1$ m. La somme des six aires vaut $15020+12400+9700+6900+3800+0=47820$, et l'on retire la moitié des deux extrêmes :

$$V\approx 1\times \left(47820-\frac{15020+0}{2}\right)=47820-7510=40310{\text{ m}}^3.$$

• Profondeur moyenne.

$$\bar{h}=\frac{V}{A(0)}=\frac{40310}{15020}\approx 2,68\text{ m,}$$

à comparer aux $5$ m du point le plus profond. Le lac n'a donc, en moyenne, qu'un peu plus de la moitié de sa profondeur maximale : ses berges sont en pente douce.

• Deux formes de référence. Un bidon de $15020$ m${}^2$ de base et $5$ m de haut contiendrait $75100$ m${}^3$, soit près du double. Un cône de même base et de même hauteur en contiendrait $\frac{15020\times 5}{3}\approx 25000$ m${}^3$. Le lac réel, $40310$ m${}^3$, est entre les deux, et plus près du cône : c'est bien une cuvette, pas une baignoire.
• Remplissage. $12$ L/s font $0,012$ m${}^3$/s, soit $0,012\times 86400=1036,8$ m${}^3$ par jour. Il faut donc

$$\frac{40310}{1036,8}\approx 39\text{ jours,}$$

si rien ne s'évapore et si rien ne s'infiltre — deux si considérables.

On notera que chaque $A(z)$ vient d'un comptage de carreaux, connu à $1\%$ près : le volume l'est donc aussi, soit $\pm 400$ m${}^3$. Une chaîne de mesures ne peut pas être plus précise que ses maillons.