Du lac à son volume

Du lac à son volume.

Un lac de barrage a été cartographié. Pour chaque profondeur $z$ entre $0$ et $5$ m, on a mesuré par quadrillage l'aire $A (z)$ de la surface d'eau située à cette profondeur — autrement dit l'aire délimitée par la courbe de niveau $- z$ .

$z$ (m)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$A (z)$ (m $^{2}$ )	$15020$	$12400$	$9700$	$6900$	$3800$	$0$

Justifier que le volume du lac est $V = \int_{0}^{5} A (z) d z$ .
Estimer $V$ par la méthode des trapèzes.
En déduire la profondeur moyenne du lac. Comparer à la profondeur maximale.
Comparer $V$ au volume d'un « bidon » de même surface et de même profondeur, puis à celui d'un cône de même base et de même hauteur.
Le lac se remplit par un ruisseau de débit $12$ L/s. Combien de temps faut-il pour le remplir à partir de rien ?

Le volume comme cumul d'aires. Découpons le lac par des plans horizontaux. La tranche comprise entre les profondeurs $z$ et $z + h$ est presque un cylindre de base $A (z)$ et de hauteur $h$ : son volume vaut environ $A (z) h$ . En additionnant toutes les tranches et en faisant tendre $h$ vers $0$ , on obtient l'aire sous la courbe de $A$ , c'est-à-dire $\int_{0}^{5} A (z) d z$ . C'est exactement le raisonnement du chapitre 7 sur le débit et le volume : chaque fois qu'une grandeur s'accumule, elle est une aire.
Trapèzes, pas $1$ m. La somme des six aires vaut $15020 + 12400 + 9700 + 6900 + 3800 + 0 = 47820$ , et l'on retire la moitié des deux extrêmes :

$V \approx 1 \times (47820 - \frac{15 020 + 0}{2}) = 47820 - 7510 = 40310 m^{3} .$

Profondeur moyenne.

$h ˉ = \frac{V}{A ( 0 )} = \frac{40 310}{15 020} \approx 2, 68 m,$

à comparer aux $5$ m du point le plus profond. Le lac n'a donc, en moyenne, qu'un peu plus de la moitié de sa profondeur maximale : ses berges sont en pente douce.

Deux formes de référence. Un bidon de $15020$ m $^{2}$ de base et $5$ m de haut contiendrait $75100$ m $^{3}$ , soit près du double. Un cône de même base et de même hauteur en contiendrait $\frac{15 020 \times 5}{3} \approx 25000$ m $^{3}$ . Le lac réel, $40310$ m $^{3}$ , est entre les deux, et plus près du cône : c'est bien une cuvette, pas une baignoire.
Remplissage. $12$ L/s font $0, 012$ m $^{3}$ /s, soit $0, 012 \times 86400 = 1036, 8$ m $^{3}$ par jour. Il faut donc

$\frac{40 310}{1 036 , 8} \approx 39 jours,$

si rien ne s'évapore et si rien ne s'infiltre — deux si considérables.

On notera que chaque $A (z)$ vient d'un comptage de carreaux, connu à $1 %$ près : le volume l'est donc aussi, soit $\pm 400$ m $^{3}$ . Une chaîne de mesures ne peut pas être plus précise que ses maillons.

Énoncé

Corrigé