L'aire sous l'hyperbole

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 14 — Thème 4 — Calculs d'aires

Énoncé

L'aire sous l'hyperbole.

On pose $A (u) = \int_{1}^{u} \frac{d x}{x}$ pour $u \geq 1$ .

Vérifier numériquement que $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = \int_{2}^{4} \frac{d x}{x} = \int_{3}^{6} \frac{d x}{x}$ , et expliquer géométriquement pourquoi.
En déduire, par la seule relation de Chasles, que $A (4) = 2 A (2)$ et $A (6) = A (2) + A (3)$ .
La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est convexe sur $] 0; + \infty [$ . En déduire un encadrement de $A (2) = ln 2$ avec quatre tranches, en utilisant les trapèzes et les rectangles au milieu.
Combien de tranches faudrait-il pour obtenir quatre décimales exactes ?

Trois aires égales. Le calcul numérique donne $0, 693147$ dans les trois cas. La raison est géométrique : la transformation $(x; y) \mapsto (k x; \frac{y}{k})$ multiplie les largeurs par $k$ et divise les hauteurs par $k$ , donc conserve les aires ; et elle envoie l'hyperbole sur elle-même, puisque $\frac{1}{k x} = \frac{1}{k} \times \frac{1}{x}$ . Avec $k = 2$ elle transforme le domaine au-dessus de $[1; 2]$ en celui au-dessus de $[2; 4]$ , avec $k = 3$ en celui au-dessus de $[3; 6]$ .
Chasles. D'une part

$A (4) = \int_{1}^{4} \frac{d x}{x} = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} + \int_{2}^{4} \frac{d x}{x} = A (2) + A (2) = 2 A (2) .$

D'autre part, l'invariance avec $k = 3$ donne $\int_{3}^{6} \frac{d x}{x} = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = A (2)$ , donc

$A (6) = \int_{1}^{3} \frac{d x}{x} + \int_{3}^{6} \frac{d x}{x} = A (3) + A (2) .$

On a bien retrouvé $ln 4 = 2 ln 2$ et $ln 6 = ln 2 + ln 3$ sans jamais utiliser l'exponentielle.

Encadrement. La fonction étant convexe, sa courbe est sous ses cordes : les trapèzes majorent. Elle est aussi au-dessus de ses tangentes (chapitre 5), et le rectangle bâti sur la valeur au milieu d'une tranche a exactement l'aire du trapèze découpé par la tangente en ce milieu : les rectangles au milieu minorent. Avec $n = 4$ tranches de largeur $0, 25$ :

$milieux : 0, 25 (\frac{1}{1 , 125} + \frac{1}{1 , 375} + \frac{1}{1 , 625} + \frac{1}{1 , 875}) = 0, 691220,$

$trap e ˋ zes : 0, 25 (\frac{1/1 + 1/2}{2} + \frac{1}{1 , 25} + \frac{1}{1 , 5} + \frac{1}{1 , 75}) = 0, 697024.$

Donc $0, 6912 \leq ln 2 \leq 0, 6971$ , ce qui est bien vérifié ( $ln 2 = 0, 693147 \dots$ ).

Quatre décimales. Les largeurs de l'encadrement valent $0, 005804$ pour $n = 4$ et $0, 001461$ pour $n = 8$ : elles sont divisées par quatre quand $n$ double, donc proportionnelles à $\frac{1}{n ^{2}}$ . Pour descendre sous $1 0^{- 4}$ , il faut multiplier $n$ par environ $58 \approx 7, 6$ à partir de $n = 4$ , soit $n \approx 31$ . Le calcul confirme : $n = 31$ suffit.

Deux tranches de plus qu'à la main, et l'on tient $ln 2$ à $1 0^{- 4}$ près en n'utilisant qu'une division et une addition.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.