L'aire sous l'hyperbole

• Trois aires égales. Le calcul numérique donne $0,693147$ dans les trois cas. La raison est géométrique : la transformation $(x;y)\mapsto \left(kx;\frac{y}{k}\right)$ multiplie les largeurs par $k$ et divise les hauteurs par $k$, donc conserve les aires ; et elle envoie l'hyperbole sur elle-même, puisque $\frac{1}{kx}=\frac{1}{k}\times \frac{1}{x}$. Avec $k=2$ elle transforme le domaine au-dessus de $[1;2]$ en celui au-dessus de $[2;4]$, avec $k=3$ en celui au-dessus de $[3;6]$.
• Chasles. D'une part

$$\mathcal{A}(4)={\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{x}={\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}+{\int }_2^4\frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathcal{A}(2)+\mathcal{A}(2)=2\mathcal{A}(2).$$

D'autre part, l'invariance avec $k=3$ donne ${\int }_3^6\frac{\mathrm{d}x}{x}={\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathcal{A}(2)$, donc

$$\mathcal{A}(6)={\int }_1^3\frac{\mathrm{d}x}{x}+{\int }_3^6\frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathcal{A}(3)+\mathcal{A}(2).$$

On a bien retrouvé $\ln 4=2\ln 2$ et $\ln 6=\ln 2+\ln 3$ sans jamais utiliser l'exponentielle.

• Encadrement. La fonction étant convexe, sa courbe est sous ses cordes : les trapèzes majorent. Elle est aussi au-dessus de ses tangentes (chapitre 5), et le rectangle bâti sur la valeur au milieu d'une tranche a exactement l'aire du trapèze découpé par la tangente en ce milieu : les rectangles au milieu minorent. Avec $n=4$ tranches de largeur $0,25$ :

$$\text{milieux}:0,25\left(\frac{1}{1,125}+\frac{1}{1,375}+\frac{1}{1,625}+\frac{1}{1,875}\right)=0,691220,$$

$$\text{trapeˋzes}:0,25\left(\frac{1/1+1/2}{2}+\frac{1}{1,25}+\frac{1}{1,5}+\frac{1}{1,75}\right)=0,697024.$$

Donc $0,6912\le \ln 2\le 0,6971$, ce qui est bien vérifié ($\ln 2=0,693147\dots$).

• Quatre décimales. Les largeurs de l'encadrement valent $0,005804$ pour $n=4$ et $0,001461$ pour $n=8$ : elles sont divisées par quatre quand $n$ double, donc proportionnelles à $\frac{1}{n^2}$. Pour descendre sous $10^{-4}$, il faut multiplier $n$ par environ $\sqrt{58}\approx 7,6$ à partir de $n=4$, soit $n\approx 31$. Le calcul confirme : $n=31$ suffit.

Deux tranches de plus qu'à la main, et l'on tient $\ln 2$ à $10^{-4}$ près en n'utilisant qu'une division et une addition.