Problème — Le bassin versant et la crue

• Trois encadrements. À l'échelle $1/25000$, $1$ cm${}^2$ de carte vaut $6,25$ ha ; un carreau de $0,5$ cm vaut donc $1,5625$ ha, et un carreau de $0,25$ cm vaut $0,390625$ ha.

$$\begin{array}{cccc}\text{pas}& \text{encadrement (ha)}& \text{milieu (ha)}& \text{eˊcart (ha)}\\ 1\text{ cm}& 168,75\le S\le 356,25& 262,5& 187,5\\ 0,5\text{ cm}& 221,875\le S\le 315,625& 268,75& 93,75\\ 0,25\text{ cm}& 241,02\le S\le 287,89& 264,45& 46,88\end{array}$$

L'encadrement le plus fin, garanti, donne $264,5\pm 23,4$ ha, soit $\pm 9\%$ : c'est pessimiste. Les trois estimations, elles, se recoupent à $2,4\%$ près. On retient

$$S\approx 263\text{ ha}=2,63{\text{ km}}^2=2630000{\text{ m}}^2,\text{aˋ environ }\pm 3\%.$$

• La ligne de partage des eaux. En divisant chaque écart par le pas, exprimé en centimètres, on obtient $187,5$ ; $187,5$ ; $187,5$ ha par centimètre. Comme $1$ cm${}^2$ vaut $6,25$ ha, cela fait $\frac{187,5}{6,25}=30$ cm de contour sur la carte, c'est-à-dire $30\times 250=7500$ m sur le terrain. La crête qui borde le bassin mesure donc environ $7,5$ km.
• Volume tombé. $68$ mm, c'est $0,068$ m d'eau :

$$V_{\text{pluie}}=2630000\times 0,068=178840{\text{ m}}^3\approx 0,18{\text{ million de m}}^3.$$

• Débit de pointe et volume écoulé. Le trinôme $t\mapsto t(24-t)$ est maximal en $t=12$, donc

$$Q(12)=0,2+0,006\times 12\times 12=0,2+0,864=1,064{\text{ m}}^3/\text{s.}$$

Le volume écoulé est l'aire sous l'hydrogramme. En développant, $Q(t)=0,2+0,144t-0,006t^2$, dont une primitive est $0,2t+0,072t^2-0,002t^3$ :

$${\int }_0^{24}Q(t)\mathrm{d}t=[0,2t+0,072t^2-0,002t^3{]}_0^{24}=4,8+41,472-27,648=18,624.$$

Attention aux unités : $Q$ est en m${}^3$ par seconde et $t$ en heures, donc ce nombre est en m${}^3$/s$\times$h. Il faut le multiplier par $3600$ :

$$V_{\text{eˊcouleˊ}}=18,624\times 3600=67046{\text{ m}}^3.$$

• Coefficient de ruissellement. Le débit de base aurait coulé de toute façon : il représente $0,2\times 24\times 3600=17280$ m${}^3$. La crue proprement dite vaut donc

$$V_{\text{crue}}=67046-17280=49766{\text{ m}}^3,$$

et

$$C=\frac{V_{\text{crue}}}{V_{\text{pluie}}}=\frac{49766}{178840}\approx 0,28.$$

Autrement dit, $28\%$ de la pluie a rejoint le ruisseau dans la journée ; le reste s'est infiltré ou évaporé. On peut le dire autrement, et c'est la façon dont les hydrologues comparent les bassins : la lame ruisselée vaut $\frac{49766}{2630000}=0,0189$ m, soit $18,9$ mm sur les $68$ tombés.

• Ce qui limite la précision. Le coefficient est inversement proportionnel à $S$. Si $S$ varie de $\pm 3\%$, $C$ varie de

$$\frac{49766}{178840\times 1,03}\approx 0,270\text{aˋ}\frac{49766}{178840\times 0,97}\approx 0,287,$$

soit $\pm 3\%$ également. Mais le pluviomètre est donné à $\pm 10\%$, et $V_{\text{pluie}}$ lui est proportionnel : à lui seul, il fait varier $C$ de $0,253$ à $0,309$ — trois fois plus.

Raffiner encore le quadrillage serait donc du temps perdu : la chaîne de mesure ne peut pas être plus précise que son maillon le plus faible, et le maillon faible est ici la pluie, pas la géométrie. Savoir où s'arrêter fait partie de la mesure. On annoncera $C\approx 0,3$, ce qui est déjà une information : un bassin très imperméabilisé dépasserait $0,6$.