Problème — Une aire qui est une probabilité

• Espérance. Le chapitre 9 donne $E(X)=\frac{1}{\lambda }=4$ ans. Un capteur dure quatre ans en moyenne : c'est le nombre qu'un gestionnaire de parc utilise pour budgéter les remplacements, mais il ne dit rien sur un capteur en particulier.
• Une aire, et rien d'autre. La fonction de répartition d'une loi exponentielle est $F(t)=1-e^{-\lambda t}$, donc

$$P(X\le 4)=1-e^{-1}\approx 0,6321.$$

Ce nombre est l'aire comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=4$. Retrouvons-le par le calcul intégral : une primitive de $0,25e^{-0,25t}$ est $-e^{-0,25t}$, donc

$${\int }_0^{4}0,25e^{-0,25t}\mathrm{d}t=[-e^{-0,25t}{]}_0^4=-e^{-1}+1.$$

Près de $63\%$ des capteurs tombent en panne avant quatre ans, alors que quatre ans est justement la durée moyenne : la moyenne n'est pas la médiane.

• Entre deux et six ans.

$$P(2\le X\le 6)=F(6)-F(2)=e^{-0,5}-e^{-1,5}\approx 0,60653-0,22313=0,38340.$$

• Le tirage. Le rectangle $[2;6]\times [0;0,25]$ a pour aire $4\times 0,25=1$. La probabilité qu'un point tiré au hasard tombe sous la courbe est donc le rapport $\frac{\text{aire chercheˊe}}{1}$, c'est-à-dire exactement $P(2\le X\le 6)$. La fréquence observée est l'estimation, sans aucune conversion.

from math import exp
from random import random, seed

f = lambda t: 0.25 * exp(-0.25 * t)

def monte_carlo(n):
    """Le rectangle [2;6] x [0;0,25] a pour aire 1."""
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = 2 + 4 * random()
        y = 0.25 * random()
        if y <= f(x):
            dedans = dedans + 1
    return dedans / n

for n in [1000, 10000, 100000]:
    seed(2026)
    print(n, round(monte_carlo(n), 4))

```text

1000 0.371 10000 0.394 100000 0.3847 ```

• Ces écarts sont-ils normaux ? Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0,3834$. L'écart type de la fréquence sur $n$ tirages vaut $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ (chapitre 8), soit

$$0,0154(n=10^3),0,0049(n=10^4),0,0015(n=10^5).$$

Les écarts observés sont $-0,0124$, $+0,0106$ et $+0,0013$, c'est-à-dire $0,8$, $2,2$ et $0,8$ écart type. Rien d'anormal : un écart de deux écarts types se produit environ une fois sur vingt.

• Absence de mémoire. Par définition d'une probabilité conditionnelle, et puisque l'événement $(X>10)$ est inclus dans $(X>6)$,

$$P_{(X>6)}(X>10)=\frac{P(X>10)}{P(X>6)}=\frac{e^{-2,5}}{e^{-1,5}}=e^{-1}=P(X>4).$$

En termes d'aires : la queue de la courbe au-delà de $10$ occupe la même proportion de la queue au-delà de $6$ que la queue au-delà de $4$ occupe de l'aire totale. Étirer horizontalement la queue restante la ramène toujours à elle-même. Un capteur qui a tenu six ans est, statistiquement, aussi neuf qu'au premier jour — ce qui est réaliste pour une panne accidentelle, et faux dès qu'il y a usure.

Ce problème referme la boucle du thème. À la section 4, nous avions mesuré une aire en comptant des succès aléatoires ; ici nous avons calculé une probabilité en mesurant une aire. C'est la même opération, lue dans les deux sens.