Problème — Une aire qui est une probabilité — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 14)

Problème — Une aire qui est une probabilité.

Un capteur de température fonctionne pendant une durée $X$ , exprimée en années, qui suit une loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 25$ . Sa densité est donc

$f (t) = 0, 25 e^{- 0, 25 t}, t \geq 0.$

Rappeler l'espérance de $X$ et l'interpréter.
Calculer $P (X \leq 4)$ , et dire quelle aire ce nombre représente.
Calculer $P (2 \leq X \leq 6)$ .
On tire au hasard un point dans le rectangle $[2; 6] \times [0; 0, 25]$ et l'on regarde s'il tombe sous la courbe de $f$ . Quelle est la probabilité de ce succès ? Écrire le programme et l'exécuter pour $n = 1 0^{3}$ , $1 0^{4}$ , $1 0^{5}$ .
Comparer les résultats à la valeur exacte à l'aide de l'écart type de la fréquence.
Vérifier l'absence de mémoire : $P_{(X > 6)} (X > 10) = P (X > 4)$ , et l'interpréter comme un rapport d'aires.

Espérance. Le chapitre 9 donne $E (X) = \frac{1}{λ} = 4$ ans. Un capteur dure quatre ans en moyenne : c'est le nombre qu'un gestionnaire de parc utilise pour budgéter les remplacements, mais il ne dit rien sur un capteur en particulier.
Une aire, et rien d'autre. La fonction de répartition d'une loi exponentielle est $F (t) = 1 - e^{- λ t}$ , donc

$P (X \leq 4) = 1 - e^{- 1} \approx 0, 6321.$

Ce nombre est l'aire comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$ . Retrouvons-le par le calcul intégral : une primitive de $0, 25 e^{- 0, 25 t}$ est $- e^{- 0, 25 t}$ , donc

$\int_{0}^{4} 0, 25 e^{- 0, 25 t} d t = [- e^{- 0, 25 t}]_{0}^{4} = - e^{- 1} + 1.$

Près de $63 %$ des capteurs tombent en panne avant quatre ans, alors que quatre ans est justement la durée moyenne : la moyenne n'est pas la médiane.

Entre deux et six ans.

$P (2 \leq X \leq 6) = F (6) - F (2) = e^{- 0, 5} - e^{- 1, 5} \approx 0, 60653 - 0, 22313 = 0, 38340.$

Le tirage. Le rectangle $[2; 6] \times [0; 0, 25]$ a pour aire $4 \times 0, 25 = 1$ . La probabilité qu'un point tiré au hasard tombe sous la courbe est donc le rapport $\frac{aire cherch e ˊ e}{1}$ , c'est-à-dire exactement $P (2 \leq X \leq 6)$ . La fréquence observée est l'estimation, sans aucune conversion.


from math import exp
from random import random, seed

f = lambda t: 0.25 * exp(-0.25 * t)

def monte_carlo(n):
    """Le rectangle [2;6] x [0;0,25] a pour aire 1."""
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = 2 + 4 * random()
        y = 0.25 * random()
        if y <= f(x):
            dedans = dedans + 1
    return dedans / n

for n in [1000, 10000, 100000]:
    seed(2026)
    print(n, round(monte_carlo(n), 4))

```text

1000 0.371 10000 0.394 100000 0.3847 ```

Ces écarts sont-ils normaux ? Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0, 3834$ . L'écart type de la fréquence sur $n$ tirages vaut $\frac{p ( 1 - p )}{n}$ (chapitre 8), soit

$0, 0154 (n = 1 0^{3}), 0, 0049 (n = 1 0^{4}), 0, 0015 (n = 1 0^{5}) .$

Les écarts observés sont $- 0, 0124$ , $+ 0, 0106$ et $+ 0, 0013$ , c'est-à-dire $0, 8$ , $2, 2$ et $0, 8$ écart type. Rien d'anormal : un écart de deux écarts types se produit environ une fois sur vingt.

Absence de mémoire. Par définition d'une probabilité conditionnelle, et puisque l'événement $(X > 10)$ est inclus dans $(X > 6)$ ,

$P_{(X > 6)} (X > 10) = \frac{P ( X > 10 )}{P ( X > 6 )} = \frac{e ^{- 2, 5}}{e ^{- 1, 5}} = e^{- 1} = P (X > 4) .$

En termes d'aires : la queue de la courbe au-delà de $10$ occupe la même proportion de la queue au-delà de $6$ que la queue au-delà de $4$ occupe de l'aire totale. Étirer horizontalement la queue restante la ramène toujours à elle-même. Un capteur qui a tenu six ans est, statistiquement, aussi neuf qu'au premier jour — ce qui est réaliste pour une panne accidentelle, et faux dès qu'il y a usure.

Ce problème referme la boucle du thème. À la section 4, nous avions mesuré une aire en comptant des succès aléatoires ; ici nous avons calculé une probabilité en mesurant une aire. C'est la même opération, lue dans les deux sens.

Problème — Une aire qui est une probabilité

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