La famille $L(x)=x^n$

• Une vraie courbe de Lorenz. On a $L(0)=0$ et $L(1)=1$. D'après la règle sur les puissances réelles,

$$L^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}>0\text{et}{L}^{\prime \prime }(x)=n(n-1)x^{n-2}>0\text{sur }]0;1],$$

puisque $n>1$. La fonction est donc croissante et convexe.

• L'indice. Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, d'où

$${\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\text{et}G=1-\frac{2}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}.$$

• Inversion. $G(n+1)=n-1$ donne $n(G-1)=-1-G$, soit

$$n=\frac{1+G}{1-G}.$$

Pour $G=0,294$ : $n=\frac{1,294}{0,706}\approx 1,833$. Pour $G=0,63$ : $n=\frac{1,63}{0,37}\approx 4,405$.

• Le modèle a le bon indice, pas la bonne forme. Avec $n=1,833$,

$$L(0,5)=e^{1,833\ln 0,5}\approx 0,281\text{et}1-L(0,9)=1-e^{1,833\ln 0,9}\approx 0,176.$$

Or la réalité donne $0,307$ et $0,237$.

Le modèle sous-estime à la fois ce que détient la moitié la plus modeste et ce que détient le dernier décile — il est trop « plat » aux deux bouts, alors même que son indice de Gini est exact. Un indice juste ne garantit pas une courbe juste : c'est précisément la mise en garde de l'étape 6, sur un exemple continu.