Problème — Ajuster une loi de Pareto sur le haut de la distribution

• Passage au logarithme.

$$\begin{array}{ccccc}p& 0,100& 0,050& 0,010& 0,001\\ \ln p& -2,303& -2,996& -4,605& -6,908\\ \ln S& -1,139& -1,514& -2,303& -3,352\\ \ln S/\ln p& 0,495& 0,505& 0,500& 0,485\end{array}$$

Les quatre rapports sont pratiquement égaux, autour de $0,49$ : c'est exactement ce qu'affirme la loi de Pareto, puisque $\ln S=\beta \ln p$ impose $\ln S/\ln p=\beta$ quelle que soit l'échelle considérée. La distribution est « auto-semblable » : le haut du haut ressemble au haut.

• Ajustement. La droite des moindres carrés de $\ln S$ en $\ln p$ est

$$\ln S=0,4784\ln p-0,0667,$$

avec $r\approx 0,9996$, donc $r^2\approx 0,999$ : l'alignement est excellent.

• Les exposants. La pente donne

$$\beta \approx 0,48\text{puis}\alpha =\frac{1}{1-\beta }\approx \frac{1}{0,52}\approx 1,92.$$

• L'indice associé. D'après le théorème de l'étape 4,

$$G=\frac{1-\beta }{1+\beta }=\frac{0,52}{1,48}\approx 0,35,\text{ou encore}G=\frac{1}{2\alpha -1}=\frac{1}{2,84}\approx 0,35.$$

• Extrapolation. La formule donne

$$S(0,0001)=e^{-0,0667+0,4784\times \ln 0,0001}\approx 0,011,$$

soit environ $1,1\%$ du revenu national pour le $0,01\%$ le plus riche. Ce nombre est une extrapolation : il se situe hors de la plage $[0,001;0,10]$ sur laquelle la droite a été ajustée. Il est plausible, il n'est pas mesuré. Rien ne garantit que la loi tienne encore à cette échelle, où quelques milliers de personnes seulement sont concernées.

• L'ordonnée à l'origine. Une loi de Pareto pure impose $S(1)=1$, donc $\ln S=0$ pour $\ln p=0$ : la droite devrait passer par l'origine. Elle passe $0,067$ en dessous, ce qui correspond à $e^{-0,067}\approx 0,94$. La loi prédirait donc que la population entière ne détient que $94\%$ du revenu — ce qui est impossible, et signale simplement que la loi ne décrit que le haut de la distribution.

D'où la conclusion honnête : $\alpha \approx 1,9$ décrit très bien le sommet français, et le $G\approx 0,35$ qu'on en déduit n'est pas l'indice de Gini de la France. Ce n'est ni le même revenu (national avant impôts, et non niveau de vie disponible), ni la même population, ni la même partie de la distribution. Deux modèles cohabitent donc dans ce thème : la ligne brisée des déciles, qui décrit tout le monde grossièrement, et la loi de Pareto, qui décrit finement les $10\%$ du haut. Aucun des deux ne remplace l'autre.

from math import log, exp

p = [0.10, 0.05, 0.01, 0.001]
S = [0.320, 0.220, 0.100, 0.035]
X = [log(v) for v in p]
Y = [log(v) for v in S]

n = len(X)
mx, my = sum(X) / n, sum(Y) / n
beta = sum((X[i] - mx) * (Y[i] - my) for i in range(n)) \
     / sum((X[i] - mx) ** 2 for i in range(n))
b0 = my - beta * mx

print(round(beta, 4), round(b0, 4))       # 0.4784 -0.0667
print(round(1 / (1 - beta), 3))           # alpha = 1.917
print(round((1 - beta) / (1 + beta), 3))  # G = 0.353
print(round(exp(b0 + beta * log(1e-4)), 4))  # part du 0,01 % : 0.0114