Problème — Deux façons de redistribuer, à coût égal

• Politique U. C'est le théorème de l'étape 5 : chaque revenu $y$ devient $(1-\lambda )y+\lambda m$, l'ordre est conservé car l'application est croissante, et la masse cumulée des $xn$ plus modestes devient $(1-\lambda )L(x)nm+xn\lambda m$. En divisant par $nm$ : $L_{\lambda }(x)=(1-\lambda )L(x)+\lambda x$, puis $G_{\lambda }=(1-\lambda )G$ par linéarité de l'intégrale.
• Coût de la politique D. La masse versée, rapportée au revenu total, vaut

$$\lambda ={\int }_0^{0,5}\frac{t(x)}{m}\mathrm{d}x={\int }_0^{0,5}\frac{1-2x}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\left[x-x^2\right]}_0^{0,5}=\frac{1}{2}\left(0,5-0,25\right)=0,125.$$

• La nouvelle courbe. Le prélèvement multiplie toutes les masses cumulées par $1-\lambda =0,875$ ; les versements ajoutent, pour les $100x\%$ les plus modestes,

$${\int }_0^x\frac{t(u)}{m}\mathrm{d}u=\frac{x-x^2}{2}\text{si }x\le 0,5,\text{et}0,125\text{si }x\ge 0,5.$$

Donc, pour $x\le 0,5$,

$$L_D(x)=0,875(0,25x+0,75x^2)+0,5x-0,5x^2=0,71875x+0,15625x^2,$$

et pour $x\ge 0,5$,

$$L_D(x)=0,21875x+0,65625x^2+0,125.$$

Vérifications. $L_D(0)=0$ et $L_D(1)=0,21875+0,65625+0,125=1$. En $x=0,5$, le premier morceau donne $0,359375+0,0390625=0,3984375$ et le second $0,109375+0,1640625+0,125=0,3984375$ : la courbe est continue. Les dérivées valent $0,71875+0,3125x$ à gauche et $0,21875+1,3125x$ à droite, toutes deux strictement positives ; en $x=0,5$ elles valent l'une et l'autre $0,875$, donc la courbe n'a même pas de point anguleux. Enfin les dérivées secondes valent $0,3125>0$ et $1,3125>0$, et les pentes se raccordent : $L_D$ est convexe. C'est bien une courbe de Lorenz.

• L'indice. On coupe l'intégrale en deux :

$${\int }_0^{0,5}{L}_D=0,71875\times \frac{0,5^2}{2}+0,15625\times \frac{0,5^3}{3}=0,0898438+0,0065104=0,0963542,$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{0,5}^1{L}_D& =0,21875\times \frac{1-0,25}{2}+0,65625\times \frac{1-0,125}{3}+0,125\times 0,5\\ & =0,0820313+0,1914063+0,0625=0,3359375.\end{array}$$

La somme vaut $0,4322917$, donc

$$G_D=1-2\times 0,4322917=0,1354167=\frac{13}{96}\approx 0,135.$$

• Comparaison. À coût identique $\lambda =0,125$, la politique U donnerait

$$G_U=(1-0,125)\times 0,25=0,21875.$$

La politique dégressive fait tomber l'indice à $0,135$, soit une réduction de $46\%$ contre $12,5\%$ — près de quatre fois plus efficace pour le même euro dépensé. La raison est visible sur la courbe des revenus : concentrer l'aide sur le bas relève fortement les premiers rangs, là où l'écart à la moyenne est le plus grand.

• Variante S : le piège du seuil. Un versement fixe $c$ à la moitié la plus modeste coûte $\lambda =\frac{c}{2m}$, et la courbe obtenue serait

$$(1-\lambda )L(x)+2\lambda x\text{ pour }x\le 0,5,(1-\lambda )L(x)+\lambda \text{ pour }x\ge 0,5.$$

Sa pente vaut $(1-\lambda )L^{\prime }(x)+2\lambda$ à gauche de $0,5$ et $(1-\lambda )L^{\prime }(x)$ à droite : elle chute brutalement de $2\lambda$ au passage du seuil. La pente n'est donc plus croissante : la courbe n'est pas convexe.

Ce défaut n'est pas un accident de calcul, c'est un diagnostic : une pente décroissante signifie qu'en passant le seuil on se met à gagner moins. Le dernier bénéficiaire du transfert dépasse le premier non-bénéficiaire, le classement est cassé, et la « courbe de Lorenz » obtenue n'en est plus une tant qu'on n'a pas reclassé les individus. C'est le célèbre effet de seuil des prestations sociales — et c'est pour l'éviter que les aides réelles sont rendues dégressives, comme dans la politique D.